Mittelwertsatz fuer e^x > 1+x+(x^2/2)

Question

zu zeigen ist mithilfe des Mittelwertsatzes e^x > 1+x+(x^2/2) für alle x in (0,unendlich)

Ich komme auf die Lösung  e^x > 1+x  jedoch finde ich nicht heraus wo x^2/2 herkommt?

Comments

"Beweisen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes die folgende Ungleichung

e^x > 1 + x + x²/2   für x ∈ ]0,∞[ ."

ich hab mir Foren durchgelesen zu ähnlichen Aufgaben und versucht die Aufgabe zu lösen aber ich kriegs einfach nicht hin...

ohne x²/2 hätte ich das glaub ich noch hinbekommen aber ich weiß einfach nicht weiter. Ich wäre sehr dankbar wenn man mir unter die Arme greifen könnte..

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Du koenntest Dein Ergebnis noch von 0 bis x integrieren, dann kommt auch das Gewuenschte raus.

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Die Aufgabenstellung fragt speziell nach dem Beweis mithilfe des Mittelwertsatzes und Integration haben wir noch nicht offiziell behandelt... o_O

Gibt es noch einen anderen Weg? Bzw. wie wuerde es mit der Integration aussehen?

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Steht doch da: Die Ungleichung, die Du mit dem MWS erhalten hast, also e^ξ > 1+ξ, noch von 0 bis x integrieren: $$\int_0^x e^\xi\,d\xi>\int_0^x(1+\xi)\,d\xi.$$Ansonsten faellt mir noch folgendes ein: Wende auf $$\frac{e^x-1-x-x^2/2}{x^3}$$ 3x den erweiterten MWS an.

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:) Da bin ich nicht drauf gekommen. Werds so probieren.

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Bitte hilf mir jemand bei diese Aufgabe: 

Beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes die Ungleichungen:

Answer 1

Hi,
der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt, dass gilt
$$ (1) \quad \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$ und \( \xi \in (a,b) \)

Wähle \( f(x) = e^x \) und \( g(x) = 1+x+\frac{x^2}{2} \) sowei \( a = 0 \) und \( b = x \) dann folgt
$$ (2) \quad \frac{e^x - 1}{x+\frac{x^2}{2}} = \frac{e^{\xi}}{1 + \xi } > 1 $$
Also $$ e^x > 1 + x+ \frac{x^2}{2} $$

Comments

Danke dir! (zu kurz um als Kommentar durchzugehen) X)

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könntest du eventuell erklären wie du im letzten Schritt auf

e^x > 1 + x + x²/2 kommst?

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Hi,

$$ \frac{e^\xi}{1+\xi}   > 1 $$ für \( \xi \ge 0 \) weil der Ausdruck monoton wachsend ist, Beweis über erste Ableitung. Im zitierten Post habe ich mich verschrieben, jetzt aber korrigiert.

Dann einfach umstellen nach \( e^x \)

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Wie würde der Beweis aussehen, wenn x ∈ ]0,∞[ ? 

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Das ist er doch!

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Wahrscheinlich stehe ich Grade voll auf dem Schlauch, Wenn nach dem MWST gilt ξ ∈ (a,b) , wieso dürfen wir dann a = 0 setzen obwohl doch nach Aufgabenstellung gilt x ∈ ]0,∞[  ,Sprich die 0 ist nicht im Definitionsbereich enthalten. Sind a und b unabhängig von Df zu wählen ? Das macht für mich aber keinen Sinn.. ! 

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Hi, wichtig ist doch nur, das \( g(\xi) = \frac{e^\xi}{1+\xi} > 1  \) gilt, für \( \xi \in (0, \infty) \)

Da \( g(\xi) \) streng monoton wachsend ist gilt auf jeden Fall, \( g(0) = 1  < g(\xi) \) für \( \xi > 0 \) und das reicht doch, oder?

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ist das ξ in g(ξ) nicht eigentlich ein anderes als das in f(ξ)?

oder mit anderen Worten: ist der MWS denn sicher richtig wie du ihn aufgeschrieben hast?

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Du hast in Gleichung  (2), Nummern habe ich gerade eingeführt damit es eindeutig wird, ein Zusammenhang zwischen einer Funktion die von \( x \in (0 , \infty) \) (linke Seite) abgängt und einer Funktion die von \( \xi \in (0,x) \) (rechte Seite) abhängt.

Jetzt wächst die rechte Seite streng monoton. Also kann man die rechte Seite durch einsetzten des kleinst möglichen Wert aus dem Definitionsbereich abschätzten. Das ist in diesem Fall der Wert \( \xi = 0 \)

Und für diesen Wert \( \xi = 0 \) wird die rechte Seite kleiner 1. Damit kann man die verlangte Abschätzung herleiten.

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den Teil habe ich verstanden aber deine Gleichung (1) irritiert mich etwas.

Ich bin mir nicht sicher, ob man tatsächlich sagen kann, dass ξ aus g'(ξ) das selbe ξ wie in f'(ξ) ist, da die funktionen g(x) und f(x) unterschiedlich sind.

Ich kannte den MWS vorher nur als (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(ξ)

angenommen wir benutzen deine Gleichung (1) und wir haben tatsächlich zwei unterschiedliche ξ kann man das glaube ich nicht so vereinfachen/umformen wie du es getan hast.

liege ich falsch?

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Es ist das gleiche \( \xi \), siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung