Genau, geht mit Leibniz. Ist ja alternierend, also musst du nur zeigen,
dass die Beträge der Summanden eine streng monoton fallende Nullfolge bilden.
Erst mal streng monoton fallend:also |a
k | > | a
k+1 |
<=> (k+1)
k-1 / k
k > (k+2)
k / (k+1)
k+1 <=> (k+1)
k-1 * (k+1)
k+1 > (k+2)
k * k
k <=> (k+1)
2k > (k
2+2k)
k <=> (k
2 + 2k +1)
k > (k
2+2k)
k offenbar für alle k erfüllt.
Nullfolge :
(k+1)
k-1 / k
k = (k+1)
k-1 / ( k
k-1 * k ) = (k+1/k)
k-1 * 1/ k
= (k+1/k)
k * (k+1/k)-1 * 1/k
= (k+1/k)k * (k/(k+1))- * 1/k
= (k+1/k)k * 1/(k+1)Der erste Faktor geht gegen e und der zweite gegen 0, also
insgesamt gegen e*0 = 0 .
Also streng monoton fallende Nullfolge gezeigt. q.e.d.