Untersuchen der Reihe auf Konvergenz

Question

Ich weiß, dass man dies mit dem Leibniz-Kriterium lösen kann jedoch weiß ich nicht genau wie ich es anwenden soll.

Kann mir jemand helfen dies zu lösen ?

Comments

Ich habe folgenden Aufgabe mit folgender Summe.

Ich würde es mit dem Leibnisverfahren lösen.
Wie genau muss ich dieses Verfahren anwenden um zu untersuchen ob die Summe Konvergent ist.

Wäre echt lieb wenn mir jemand beim Lösen helfen könnte

Answer 1

Genau, geht mit Leibniz. Ist ja alternierend, also musst du nur zeigen,

dass die Beträge der Summanden eine streng  monoton fallende Nullfolge bilden.

Erst mal streng monoton fallend:also |a_k | > | a_k+1 |

<=>   (k+1)^k-1 /  k^k    >   (k+2) ^k  /   (k+1) ^k+1   

<=>   (k+1)^k-1 *   (k+1) ^k+1      >   (k+2) ^k  *     k^k  


<=>   (k+1)^2k    >   (k²+2k) ^k 

<=>   (k² + 2k +1)^k    >   (k²+2k) ^k      offenbar für alle k erfüllt.

Nullfolge :

(k+1)^k-1 /  k^k     =   (k+1)^k-1 /  ( k^k-1  * k )     

=   (k+1/k)^k-1  * 1/ k  

=      (k+1/k)^k  *   (k+1/k)^-1 * 1/k

=     (k+1/k)^k  *   (k/(k+1))^- * 1/k

=    (k+1/k)^k  *   1/(k+1)Der erste Faktor geht gegen e und der zweite gegen 0, also

insgesamt gegen  e*0 = 0 .

Also streng monoton fallende Nullfolge gezeigt.  q.e.d.