> Wie lassen sich die Formeln zu Permutationen und Kombinationen herleiten?
| Ohne Wiederholung
(Ohne Zurücklegen)
| Mit Wiederholung
(Mit Zurücklegen)
|
Reihenfolge wichtig
| Permutation
ohne Wiederholung
oW/Rw
\( \frac{n!}{(n-k)!} \)
| Permutation
mit Wiederholung
mW/Rw
nk
|
Reihenfolge unwichtig
| Kombination ohne
Wiederholung
Ow/Ruw
\( \frac{n!}{(n-k)! • k!} \)
| Kombination
mit Wiederholung
mW/Ruw
\( \frac{(n + k - 1)!}{k! • (n - 1)!} \)
|
Ich würde gerne wissen, wie sich die Formeln herleiten lassen.
Also zum Beispiel, woher bei der Formel zu Kombinationen mit Wiederholung das "k - 1" bzw. "n - 1" kommt...
Wenn man dabei das Beispiel nimmt, dass es zwei nicht unterscheidbare Spatzen gibt, die auf drei Bäume verteilt werden sollen. Dabei ist daher die Reihenfolge unwichtig und es gibt Wiederholungen. k ist dann die Anzahl der Spatzen, die auf die Anzahl der Bäume n verteilt werden. Und ich würde jetzt sagen, dass "k - 1" kommt daher, dass man ja nach dem ersten Spatzen, den man verteilt hat, einen Spatzen weniger zum Verteilen hat. Und "n - 1" kommt daher, weil ja auch nach jedem Verteilen ein Baum weniger da ist, der mit einem Spatz belegt werden kann.
Oder wie es bei der Formel zu Kombinationen ohne Wiederholung zu den einzelnen Komponenten kommt...
Wenn man dabei das Beispiel nimmt, dass es fünf unterscheidbare Kugeln in einer Urne gibt, aus denen drei Kugeln gezogen werden sollen. n ist dann also die Anzahl der Kugeln insgesamt, aus der die Anzahl der Kugeln k gezogen werden soll. "n!" wären demnach meiner Meinung nach die Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten. "(n-k)!" ergibt sich, weil nur drei Kugeln gezogen werden und auf diese Weise zwei Kugeln herausgekürzt werden. Und "k!" ergibt sich daher, dass man die verschiedenen Anordnungen herausgekürzt, da es wegen [oW] nur eine mögliche Anordnung der Kugeln gibt.
Das sind meine Ansätze dazu. Ich bin mir aber nicht sicher, ob meine Herleitungen so stimmen können. Ich würde gerne allgemein wissen, wo die einzelnen Komponenten der Formeln (bei Permutationen und Kombinationen) herkommen. Kann mir hierbei jemand helfen?
