Berechnung vom Kern, wie lautet die Zuordnungsvorschrift?

Question

$$  u_1=\begin{pmatrix} 4\\2\ \end{pmatrix},u_2=\begin{pmatrix} -2\\4\ \end{pmatrix}, u_3=\begin{pmatrix} 4\\-4\ \end{pmatrix}\in \mathbb{R^2}\\f:\mathbb{R^2} \rightarrow ~\mathbb{R^2}, mit~ ~f(u_i)=u_{i+1},~wobei~~i=1,2$$

Man soll anhand der Definition den Kern der Abbildung berechnen, aber ich komme nicht mal zur Zuordnungsvorschrift. Danach würde ich eine Abbildungsmatrix aufstellen und mit dem Nullvektor gleichsetzen.

Answer 1

f(4;2) = ( -2;4)  und f(-2;4) = (4;-4)

Um die Zuordnungsvorschrift zu bestimmen, brauchst du

nur einen beliebigen Vektor ( x,y) durch u1 und u2 auszudrücken.

Aus dem Ansatz  (x,y) = a*u1 + b*u2 ergibt sich

a= (  2x+y)/10  und b=  (x-2y)/10

Und dann hast du  f(x,y) =  f (   (  2x+y)/10 * u1  )  +  f (   (x-2y)/10  * u2) 

=   (  2x+y)/10 * f(u1 )   +    (x-2y)/10  * f(u2) 


=   (  2x+y)/10 *    Vektor ( -2;4)     +    (x-2y)/10  * Vektor ( 4 ; -4 )


=   (  -0,8x + 0,6y   ;     1,2x  - 0,4y ) 

Also besteht  der Kern aus allen Vektoren der Art  ( t ;  3t )  mit  t aus IR.

Comments

Danke, für deine Antwort :)

Kannst du mir sagen, warum man u_3 nicht beachtet? Sondern zur Berechnung des Kerns nur u₁ und u₂ verwendet?

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u3 wird zur Bestimmung der Abb-vorschrift gebraucht.