Beweisaufgabe zu Stetigkeit

Question

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabenstellung:                                                                                                                                                                              a) Sei f : [a,b] → [a,b] stetig.  Beweisen Sie, dass es ein x ∈ [a,b] gibt mit f(x) = x (ein solches x heißt Fixpunkt von f).                                                                                                                                                                                                          b) Zeigen Sie, dass es keine stetige Funktion f : [0,1] → ℝ gibt, die jeden ihrer Bildwerte genau zweimal annimmt.                                                                                                                                                                                             Wie kann ich das zeigen?            Vielen Dank für Hilfe!

Answer 1

a)  mit f ist auch g gegeben durch  g(x) = f(x) - x stetig auf [a,b]und es ist g(a) = f(a) - a ≥ 0  da  f(a) ∈ [a,b]analog ist g(b) ≤ 0

also gibt es (Zwischenwertsatz) in [a,b] ein x mit g(x) = 0

<==>  f(x) - x = 0     < == > f(x) = x    q.e.d.


b) Da f nicht konstant sein kann (mehr als 2 gleiche Werte) ,
aber wegen der Stetigkeit auf [a,b] ein Max  M (etwaan den Stellen x1 und x2  (Muss ja an genau 2 Stellen
angenommen werden.)   und ein Min  m  etwa an
den Stelle x3 und x4   besitzt.


Dann findet man von rechts nach links auf

der Zahlengeraden entweder erst ein Max

dann ein Min dann wieder ein Max und dann ein

Min. oder eben

zuerst ein Max , dann ein Min etc.Nehmen wir mal den ersten Fall an , also etwa

x1 < x3 < x2 < x4 .

Dann befindet sich nach dem Zwischenwertsatz

der Wert (M+m)/2 einmal

an einer Stelle zwischen x1 und x3 und einmal zwischen

x3 und x2 und einmal zwischen x2 und x4 .

Also an drei verschiedenen Stellen.

Widerspruch zu :

Jeder Wert kommt genau zweimal vor.