Den Grenzwert der Folge (1-(1/n))^n bestimmen.

Question

hi,

Ich muss den Grenzwert der folgenden Folge finden:

\( b_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \) 

Ich weiß, dass die folgende Folge gegen e konvergiert:

\( a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \) 

Die Lösung sollte ja 1/e sein... wie komm ich drauf?

Ich habe auch einen Lösungsweg (von der Uni) aber ich verstehe die meisten Schritte kaum... habe darin auch paar Dinge markiert (mit blau) -ich entschuldige mich für die schlechte Qualität aber wenn ihrs kurz runterladet könnt ihr ganz gut erkennen wenn ihr zoomt:

Answer 1

Es gilt: lim_n→∞(1+x/n)ⁿ=e^x. Hier ist x = -1. Also ist der Grenzwert e^-1.

Comments

wirklich? ich dachte das geht viel komplizierter? wie auf dem foto... das ist vom tutor... aber kann ja sein, dass ers genauer gemacht hat um es zu zeigen. aber wenn du dir sicher bist, dann werde ich diese formulierung mir merken.

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Ich habe es mit meinem Algebraprogramm geprüft. lim_n→∞(1+x/n)ⁿ=e^x. stimmt.

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Also zur Zusammenfassung:

Es gilt in der Regel: lim_n→∞(1+x/n)ⁿ=e^x

d.h. lim_n→∞(1+1/n)ⁿ=e bzw. lim_n→∞(1+2/n)ⁿ=e²

Aber es gibt auch die folgende Möglichkeit, um das zu "beweißen" (ist kein Beweiß aber eine andere Möglichkeit eben):

b_n= (1 + 2/n)ⁿ -> n = 2k (nur gerade Zahlen) = ((1+2/2k)^2k = (1+1/k)^k * (1+1/k)^k -> e² 

Letztere ist die komplizierte Art und Weiße, was mir schwer fällt, aber mit der neuen Formel sollte es gehen. Danke nochmal.

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Es dürfte doch wohl darum gehen, den Grenzwert von \(b_n\) über die Folge \(a_n\) herzuleiten, nicht als Spezielfall der Exponentialfunktion zu trivialisieren, oder?

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Das ist eine gute Frage und wenn man das annimmt wäre der anfängliche Lösungsweg logischer... aber man muss glaube einfach nur die Lösung finden obwohl da steht "die Sätze aus der Vorlesung anwenden und ich glaube wir hatten lim_n→∞(1+x/n)ⁿ=e^x zu dem Zeitpunkt nicht...

Weiß du also wie ich auf so auf 1/e komme?

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Ok, wie habt ihr denn nun die Konvergenz von \(a_n\) gezeigt? Und wie habt ihr die eulersche Zahl \(e\) definiert?

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laut der Fragestellung nehmen wir folgendes an:

a_n = (1+1/n)ⁿ  -> e 

mehr habe ich nicht

Answer 2

Dein Tutor hat folgendes gemacht: $$\left( 1 - \frac{1}{n}\right)^n=\left( \frac{n-1}{n}\right)^n=\left( \frac{n}{n-1}\right)^{-n}=\left( \frac{n-1+1}{n-1}\right)^{-n}=\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{-n}$$ Also kann man jetzt schreiben: $$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{n-1}}}{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}= \lim_{n \to \infty}\frac{1-\frac{1}{n}}{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}$$ .. der Zähler geht gegen 1 und wenn \(n\) gegen \(\infty\) geht, dann geht auch \(n-1\) gegen \(\infty\). Demnach ist $$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n}\right)^n =  \lim_{n \to \infty}\frac{1-\frac{1}{n}}{\left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}} =\frac{1}{e}$$

Comments

ich habe eine Frage zu deiner Lösung. In der ersten Zeile wird ja im 4. Schritt im Zähler mit "-1+1" erweitert. So weit so gut, aber ich verstehe beim besten Willen nicht, wie daraus der 5. Schritt wird. Also das (1+(1/n-1))^-n. Könnte mir das nochmal jemand aufschlüsseln?

MfG

Fynn

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Hallo Fynn,

In der ersten Zeile wird ja im 4. Schritt im Zähler mit "-1+1" erweitert.

nicht erweitert. Erweitern ist, wenn Zähler und Nenner mit dem gleichen Wert multipliziert werden. Es wird im Zähler \(0\) addiert, wodurch sich der Zähler nicht verändert, es ist also gestattet. $$0 = +1-1$$

ich verstehe beim besten Willen nicht, wie daraus der 5. Schritt wird. Also das (1+(1/n-1))^-n.

ich betrachte nur den Term in der Klammer. Es ist $$\frac{n-1+1}{n-1} = \frac{n-1}{n-1} + \frac{1}{n-1} = 1 + \frac{1}{n-1} $$ alles klar?

Gruß Werner

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Clever. Vielen Dank für die schnelle Antwort!