Wie wendet man hier die Produktregel an, um f'(x) herauszufinden?

Question

f(x) = x/(x+1), x ≠ -1

Ich kann die (angehängte) Lösung nicht verstehen, außer dass f(x) irgendwie umgeschrieben wurde. 

Answer 1

$$\textrm{Du kannst } x \cdot \frac{1}{x + 1} \textrm{ umformen zu } \frac{x}{x+1}$$ 
Jetzt leitest du einfach mit der Quotientenregel ab:$$ ( \frac{x}{x+1} )' = \frac{(x+1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$$

Comments

Sorry, hab nicht gesehen, dass die Produktregel verwendet werden muss. Im Grunde genommen, musst du f(x) nur so umformen, bis du die Produktregel benutzen darfst. Neue Lösung in Arbeit.

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Zur Erinnerung die Produktregel besagt:
$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$

In deinem Fall:

$$ g(x) = x \textrm{ und } h(x) = \frac{1}{x+1} \textrm{ also } g'(x) = 1 \textrm{ und } h'(x) = - \frac{1}{(x+1)^2} $$

Jetzt musst du nur noch einsetzen:

$$ f'(x) = 1 \cdot \frac{1}{x+1} + x \cdot - (\frac{1}{(x+1)^2}) = \frac{1}{x+1} - x \cdot \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$$

Answer 2

Es gibt aber auch eine sogenannte "Stammbruchregel" für das Ableiten. Diese lautet 1/f(x) wird abgeleitet zu       -f '(x)/(f(x))².