Graph ganzrationalen Funktion dritten grades

Question

Bei folgender Aufgabe bräuchte ich kurz eure Hilfe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades verläuft durch den Nullpunkt. Er hat bei x = 2 eine waagrechte Tangente und bei x = 4 eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung -4. Bestimmen Sie den Funktionsterm.

1. Ganrationale Funktion dritten grades: a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

2. Verläuft durch nullpunkt: f(0)=a*0^3  b*0^2 + c*0 + d --> d = 0

Wie bestimme ich nun die wagrechte Tangente, also die Variable c (erste ableitung sollte was ergeben, bei einer wagrechten) ? Wendestelle ist auch einigermassen klar, zweite Ableitung dann 4 einsetzen und dann muss 0 ergeben. Aber solange ich c noch nicht bestimmt habe kann ich auch nichts mit der wendestelle anfangen.

Vielen herzlichen Dank für eure Hilfe.

Grüsse

Answer 1

Nur d kannst du direkt bestimmen. Für a, b und c brauchst du hier ein Gleichungssystem, welches erst vollständig vorliegen muss, damit man es lösen kann.

Benutze zum Vergleich: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Bedingungen

f(0)=0

f'(2)=0

f''(4)=0

f'(4)=-4

Gleichungen

d = 0

12a + 4b + c = 0

24a + 2b = 0

48a + 8b + c = -4

Lösung

f(x) = 1/3·x^3 - 4·x^2 + 12·x

f'(x) = x^2 - 8·x + 12

f''(x) = 2·x - 8

f'''(x) = 2

Answer 2

f(x) = ax³ + bx² + cx + d f(0) = 0 ---> f(x) = ax³ + bx² + cx

x=2 waagerechte tangente ( := punkt mit steigung null) → extrempunkt (in anderen fällen auch sattelpunkt mögl) bei x=2 → f'(2) = 0

wendepunkt bei x = 4 --->  f''(4) = 0

wendepunkt bei x = 4 ∧ wendetangente hat die steigung -4 --->  f'(4)=  -4

das verarbeitet mit GLS : 1/3x³ - 4x² + 12x

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