x und y Cauchy-Folgen
==> Zu jedem eps > 0 gibt es ein N1 so dass für alle
a > N1 und b > N1 gilt | xa - xb | < eps
und es gibt ein N2 .................. | y
c - y
d | < eps .
Und zu zeigen ist: Sei eps > 0 dann
gibt ein N so dass für alle n>N und m>N gilt | ( (x
n+y
n) - ( x
m+y
m) | < eps. #
Dann gibt es auch für eps/2 ein N1 so dass für alle
a > N1 und b > N1 gilt | x
a - x
b | < eps / 2
und es gibt ein N2 .................. | y
c - y
d | < eps / 2 .
Sei nun N = max( N1 , N2 ) , dann gilt für alle n>n und m>N
jedenfalls | x
n - x
m | < eps / 2 und | y
n - y
m | < eps / 2
also | x
n - x
m | + | y
n - y
m | < eps
Und wegen der Dreiecksungleichung
| x
n - x
m + y
n - y
m | ≤ | x
n - x
m | + | y
n - y
m | < eps
==> | x
n + y
n - x
m - y
m | < eps
==> | ( x
n + y
n ) - ( x
m + y
m) | < eps
siehe #. q.e.d.
