Oder muss ich erstmal zeigen, dass R(x) eine Gruppe ist?
Dann:
Abgeschlossenheit:
Sei a,b € R, dann gilt auch a+b € R, da die Summe zweier Elemente aus R immer eine Zahl aus R ist. (Kann man das so als Begründung sagen?)
Neutrales Element:
Finde ein Element n, so dass
a+n=a und b+n=b
n=a-a und n=b-b also n=0
Inverses Element: Finde ein x, so dass
a+x=n und b+x=n
x=n-a und x=n-b, da n=0
x=-a und x=-b
Assozivitätgesetz gilt für alle ganze Zahlen
Also ist R(x) bezüglich der Addition eine Gruppe.
Sie ist sogar abelsch, da in R auch das Kommutativgesetz gilt.
Damit Z Untergruppe bezüglich der Addition Untergruppe von R ist muss
Z abgeschlossen sein, ein neutrales und ein inverses Element haben.
Also wie eben:
Abgeschlossenheit gegeben, da die Summe zweier Elemente aus Z immer eine Zahl aus Z ist.
Neutrales Element: Finde ein Element n, so dass
a+n=a und b+n=b
n=a-a und n=b-b also n=0
Inverses Element: Finde ein x, so dass
a+x=n und b+x=n
x=n-a und x=n-b, da n=0
x=-a und x=-b
Also ist Z(x) bezüglich der Addition eine Untergruppe.
Was sagt ihr dazu? Keiner da, der eine Idee hat? Wolfgang??? Mathef?