Ist Z(x) bezüglich der Addition eine Untergruppe von R(x)

Question

Mein Vorschlag: 

Abgeschlossenheit gegeben, da die Summe zweier Elemente aus Z immer eine Zahl aus Z ist.

Neutrales Element: Finde ein Element n, so dass 

a+n=a und b+n=b

n=a-a und n=b-b also n=0

Inverses Element: Finde ein x, so dass 

a+x=n und b+x=n

x=n-a und x=n-b, da n=0

x=-a und x=-b

Assozivitätgesetz gilt für alle ganze Zahlen 

Also ist es eine eigene Gruppe und damit auch eine Untergruppe von R.

Es ist sogar eine abelsche Gruppe, da in Z auch das Kommutativgesetz gilt.

Liege ich da richtig?

Comments

Oder muss ich erstmal zeigen, dass R(x) eine Gruppe ist?

Dann:

Abgeschlossenheit:

Sei a,b € R, dann gilt auch a+b € R, da die Summe zweier Elemente aus R immer eine Zahl aus R ist. (Kann man das so als Begründung sagen?)

Neutrales Element: 

Finde ein Element n, so dass 

a+n=a und b+n=b

n=a-a und n=b-b also n=0 

Inverses Element: Finde ein x, so dass 

a+x=n und b+x=n

x=n-a und x=n-b, da n=0

x=-a und x=-b

Assozivitätgesetz gilt für alle ganze Zahlen 

Also ist R(x) bezüglich der Addition eine Gruppe. 

Sie ist sogar abelsch, da in R auch das Kommutativgesetz gilt.

Damit Z Untergruppe bezüglich der Addition Untergruppe von R ist muss

Z abgeschlossen sein, ein neutrales und ein inverses Element haben.

Also wie eben:

Abgeschlossenheit gegeben, da die Summe zweier Elemente aus Z immer eine Zahl aus Z ist.

Neutrales Element: Finde ein Element n, so dass 

a+n=a und b+n=b

n=a-a und n=b-b also n=0

Inverses Element: Finde ein x, so dass 

a+x=n und b+x=n

x=n-a und x=n-b, da n=0

x=-a und x=-b

Also ist Z(x) bezüglich der Addition eine Untergruppe.

Was sagt ihr dazu? Keiner da, der eine Idee hat? Wolfgang??? Mathef?

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Wie genau habt ihr Z[X] definiert?

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Überschrift der Aufgabe ist unter anderem Polynome:

Ist Z[X] also die Menge der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten?

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Also die Überschrift ist "Gruppen, Polynome". Und dann folgt die oben stehende Aufgabe, keine weiteren Informationen. 

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Jap,  es ging eher darum wie Z[X]  definiert ist.  Und das steht bei euch im Skript.  

Du musst also mit Polynomen arbeiten.  

Zu zeigen gilt :

Z[X]  ist Teilmenge von R[X] 

Z [X]  ist abgeschlossen 

Die Inversen liegen in Z[X] 

Dann ist Z[X] eine Untergruppe.  

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also alles falsch?

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Jap,  falsch und zu viel.  

Du betrachtest die Menge Z. 

Wir haben hier aber Polynome.  Es lässt sich aber ganz simple umstellen.  Definiere dir einfach zwei beliebige Polynome und zeige die von mir genannten Punkte.

Assoziativität musst du nicht zeigen,  da wir zeigen dass es eine  Teilmenge ist und damit ist es direkt auch assoziativ. 

Das es eine Teilmenge ist,  ist trivial. 

Das inverse und neutrale Element bleibt das gleiche wie in der Menge R[X].  

Wir müssen also nur zeigen dass beides auch in Z[X] liegt. 

Abgescglossenheit und Existenz des Inversen impliziert direkt auch Existenz des neutralen in der Menge.  

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....mein Mut zur Lücke wird immer größer ;-)

Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe

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Versuch dich noch mal dran,  das ist nur Axiome durchkauen.  Hätte die Lösung auch noch hier liegen.  

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müsste ich nicht erst wieder damit anfangen, dass R(x) eine Gruppe ist?

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Schau dir doch erstmal deine vorlesungsfolien an.  Vl10 Folie 6 habt ihr bereits bewiesen dass R[X]  eine Gruppe bezüglich der Addition ist. 

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hm... bist du auch in dem Kurs? Dürfen wir jetzt alles was in der VL steht als gegeben hinnehmen? Das war nämlich sonst nicht unbedingt der Fall

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Also ich hab jetzt nur Punktabzug bekommen, weil die Untergruppe kein inverses Element braucht.

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Nee bin nicht in den Kurs, habe aber Nachhilfe gegeben für einen deiner Kommilitonen.  

Frag am besten mal den Dozenten, aber im Normalfall darf man bewiesene Sätze aus dem Skript benutzen.  

Wenn du dafür kaum Punkte abgezogen bekommen hast,  wurde aber sehr großzügig bewertet. Eigentlich hast du die falschen Mengen betrachtet.  

Meinst du vielleicht dass du nicht zeigen musst dass das neutrale drin liegt?  Das Inverse muss nach Definition drin liegen. 

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Hinter dem Beweis für das inverse Element steht "Dies ist ein Gruppentest, kein Untergruppentest". Hab dafür die Hälfte der Punkte abgezogen bekommen. 

Ich denke auch, dass die Aufgabe sich in diesem Fall nicht um Polynome dreht, in der Aufgabe danach gehts nämlich drum und da wirds ausdrücklich erwähnt.

Aber bei dem inversen Element geb ich dir eigentlich recht, steht ja auch so im Skript.

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Ich glaube der korrektuer hat falsch verstanden was du meinst und du auch seine korrektur. 

Was er meint : du musst nicht nocj extra beweisen dass das inverse existiert ,  sondern eher zeigen dass der in der Menge steht.  

In der nächsten Aufgabe ist es ausdrücklich erwähnt,  da die Menge Z eine Teilmenge ist und du es von der vorherigen Aufgabe ableiten sollst.  

Hier in der Aufgabe steht explizit Z[X]  und das sind Polynome. 

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hm... das kann natürlich sein, geht aber aus der Korrektur nicht so hervor. An den restlichen Rechnungen sind ja als richtig gekennzeichnet. Glaub da muss ich ihn nochmal fragen

Answer 1

Ich mache mal den Anfang:

Seien a,b beliebige Polynome aus Z[X]

a = an xn +  an-1 xn-1 +.... a0 x0

b = bm xm +  bm-1 xm-1 +.... b0 x0

m und n müssen nicht unbedint gleich sein.

Jetzt wollen wir zeigen, dass es :

1. Teilmenge von R[X] ist.  -> Ist logisch.

2. abgeschlossen ist.  Liegt a+b nun wieder in der Menge? Begründe ,indem du dir die Koeffizienten anschaust.

3. das Inverse Element liegt in der Menge. Was ist das Inverse? Liegt es in der Menge? Koeffizienten betrachten

Comments

ok, also ich warte noch auf eine Antwort zu meinem Tutor, mal gucken was er sagt.

Nach deinem Weg müsste das inverse Element:

-a₀ - (a₁)x - (a₂)x² -.....- aⁿ = P^-1(x)

sein. Richtig?

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Genau ,  also nach meiner Definition ist es somit einfach - a

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hm...bei mir oben aber doch auch?

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Ich wusste dass das kommt.  Du hast a aber als ganze Zahl definiert und das damit auch begründet. 

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;-)

ok, wir warten mal seine Antwort ab.

Aber grundsätzlich hab ich das verstanden, glaub ich. Vielen Dank für deine Hilfe!!!

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Also die Abgeschlossenheit stimmt.

Beim neutralen Element muss man nur beweisen, dass das neutrale Element der Obergruppe in der Menge der Untergruppen liegt.

Zusätzlich müssen die zu den Elementen der Untergruppe inversen Elemente der Obergruppe auch wieder in der Menge der Untergruppe sein.

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Ich glaube so ganz ist es noch nicht drin.

"Also die Abgeschlossenheit stimmt."

Das müssen wir ja noch zeigen.

"Beim neutralen Element muss man nur beweisen, dass das neutrale Element der Obergruppe in der Menge der Untergruppen liegt."

Schau dir nochmal an, welche Punkte wir oben zeigen müssen.

"Zusätzlich müssen die zu den Elementen der Untergruppe inversen Elemente der Obergruppe auch wieder in der Menge der Untergruppe sein."

Genau. Dies zusammen mit der Abgeschlossenheit impliziert das beinhalten des neutralen Elements.

Wieso?

Abgeschlossenheit heißt, dass wenn wir zwei Elemente in die Abbildung werfen, kriegen wir auch wieder ein Element der Menge.

Das Inverse Element a^{-1} zu dem Element a bildet ja auf das neutrale Element e ab.

Also a* a^{-1} = e

Da beides Elemente der Menge sind, greift hier die abgeschlossenheit und logischerweise muss e dann auch in der Menge liegen.

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Also das waren die Worte meines Tutors.

Ich hab ja gezeigt dass das neutrale Element von R = 0 und von Z = 0. Wie muss man das denn dann sonst aufschreiben?

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Das ist sehr komisch,dass dein Tutor das gesagt hat.

Siehe meinen vorherigen Kommentar, du musst es nicht zeigen. Wenn du abgeschlossenheit gezeigt hast und dass das inverse Element für alle Elemente drin liegt, dann MUSS das neutrale automatisch auch drin liegen. Das habe ich dir ja oben mehr oder weniger bewiesen.

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ja ok, so langsam kommt Licht ins Dunkel.

Das mit neutral ergibt sich durch invers hab ich verstanden.

Du sagtest ich hab die Abgeschlossenheit nicht bewiesen. Die Polynome wurden doch definiert mit ganzzahligen Faktoren. (Nennt man das so? also die Zahl vor dem x, sorry)

z.b.: 3x³ + 7x² -4x  +9 = 0

x kann ja alles sein, also aus R. Ganze Zahlen sind in R also ist auch Z mal R in R.

Oder? Ist es doch noch dunkel?

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Bzw, viel weiter oben hast gesagt, wir müssen erst noch zeigen, dass es eine Teilmenge ist. Was ist denn damit?

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Bei der Teilmenge können wir sagen, dass es trivial ist.

Die Koeffizienten sind in unserem Fall ganze Zahlen und das ist eine Teilmenge der reellen Zahlen.

=> Die Polynome sind Teilmenge von R[X]

Schau dir noch einmal an, was Abgeschlossenheit heißt:

Wenn ich zwei Elemente aus der Menge nehme ( in unserem Fall die obigen Polynome a und b) und diese mit der Verknüpfung verbinden ( in unserem Fall Addition), dann muss das Ergebnis wieder in Z[X] liegen.

Also wie addieren wir zwei solche Polynome? Was passiert mit gleichen Exponenten bei x ?(Stichwort Ausklammern)

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wenn a und b ganze Zahlen sind, dann ist auch a + b eine ganze Zahl???

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a und b sind aber Polynome

a = a_n x_n +  a_n-1 x_n-1 +.... a₀ x₀

b = b_m x_m +  b_m-1 x_m-1 +.... b₀ x₀

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ja aber das macht doch keinen Unterschied??? Ich hab doch nix verstanden :-(

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Wir betrachten in der Aufgabe Polynome und keine ganzen Zahlen.

Ob da jetzt 3x^2+2x+x  oder 3 steht ist doch schon ein Unterschied oder nicht?

Das sind verschiedene Mengen.

Es bringt nichts Eigenschaften von Katzen zu beweisen, wenn wir Hundebesitzer sind.

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Wenn ich rechne

Polynom 1: 3x²+2x+x       +   Polynom 2:  5x²+8x+x      = 8x²+10x+2x 

Oder was meinst du? 

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Genau.
Das müssen wir nun noch allgemein zeigen. Also für beliebige Koeffizienten und beliebige Exponenten.

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ja ich dachte eigentlich das hätte ich schon längst getan. Keine Ahnung wie ich das sonst noch ausdrücken soll

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Nimm diese Definition:

a = a_n x_n +  a_n-1 x_n-1 +.... a₀ x₀

b = b_m x_m +  b_m-1 x_m-1 +.... b₀ x₀

_{und addiere aufeinander}

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a = a_n x_n +  b_m x_{m +}  a_n-1 x_n-1 +b_m-1 x_{m-1 +}  a₀ x_{0 +} b₀ x₀ 

?

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Ups, ich sehe gerade, dass ich es tiefgesetz habe. Es soll natürlich

a = a_n x^_n +  a^_n-1 x_^n-1 +.... a₀ x^₀

b = b_m x_^m +  b_m-1 x^_m-1 +.... b₀ x^₀

heißen.

Zu beachten ist jetzt, dass m und n natürlich auch verschieden sein können, die Polynome sich im Grad also auch unterscheiden können.

Wir müssen eigentlich nur eine kleine Begründung geben:

Wenn wir a und b addieren, dann addieren wir jeweils die Summanden mit selbem Exponenten zusammen. Wir haben also nur Summanden im Ergebnis der Form:
a_k x^k + b_k x^_k    , jetzt klammern wir aus:

(a_k+b_k)x^k

Das heißt unsere Ergebniskoeffizienten bestehen aus (a_k+b_k)  und da ak und bk ganze Zahlen sind, so ist auch deren Summe wieder eine ganze Zahl.

Somit liegt das Ergebnispolynom wieder in der Menge und wir haben gezeigt, dass die Menge bezüglich der Addition abgeschlossen ist.

Wie du siehst, ist ein Teil genau das, was du auch gemacht hättest, jedoch fehlte bei dir der komplette Bezug zu den Polynomen.

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ja also im Prinzip hab ich das schon so gemeint :-)

Vielen Lieben Dank, dass ich jetzt endlich weiß, wie man es aufschreibt.