Komplexe Gleichung Lösen sin(z)+cos(z)=a

Question

sry für das hässliche bild :D

Bei der 1. Aufgabe habe ich wirklich keine Ahnung. Bei der zweiten habe ich die exponential definition genommen und bin so weit gekommen:

wäre euch unendlich dankbar wenn ihr mir weiter helfen könntet :)

Answer 1

Bei der a, falls ich das richtig verstehe will man wissen was kann a sein, so das z nicht mehr reel wählbar ist. Sprich nur komplexes z gibt.

Dann überleg welche Lösungen du reell erreichen kannst, Das ist der Bildbereich von sin(x)+cos(x). Den errechnen man über das Minimum und Maxium aus.

Answer 2

$$ (a)\\{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }=sin(x)+cos(x)=sin(x)+sin(x+\pi/2)\\\text{komplex:}\\\bar{ y }_{ 1 }+\bar{ y }_{ 2 } ={ e }^{ ix }+{ e }^{ i\frac { \pi }{ 2 } }{ e }^{ ix }\\=(1+i){ e }^{ ix }=\sqrt { 2 }{ e }^{ i\frac { \pi }{ 4 } }{ e }^{ ix }=\sqrt { 2 }{ e }^{ i(x+\frac { \pi }{ 4 }) }\\\to{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }=Im(\bar{ y }_{ 1 }+\bar{ y }_{ 2 })=\sqrt { 2 }sin(x+\frac { \pi }{ 4 })\\\sqrt { 2 }<=\sqrt { 2 }sin(z+\frac { \pi }{ 4 })<=\sqrt { 2 }, wenn z\in |R\\(b)\\\sqrt { 2 }sin(z+\frac { \pi }{ 4 })=\sqrt { 2 }\\sin(z+\frac { \pi }{ 4 })=1\\z=x+iy\\x,y\in |R \\sin(x+\frac { \pi }{ 4 })cos(iy)+cos(x+\frac { \pi }{ 4 })sin(iy)=1\\sin(x+\frac { \pi }{ 4 })cosh(y)+icos(x+\frac { \pi }{ 4 })sinh(y)=1\\\to\\sin(x+\frac { \pi }{ 4 })cosh(y)=1\\cos(x+\frac { \pi }{ 4 })sinh(y)=0\\\text{Löse das Gleichungssystem für x und y }\\ $$