> Bedeutet auf "ganz R definiert", dass ich die Stetigkeit zeigen muss?
Nein. Es bedeutet, dass du für x jede reelle Zahl einsetzen darfst.
> Und wie zeige ich dann die Differenzierbarkeit?
Indem du die Sätze anwendest, die du über Differenzierbarkeit gelernt hast. Zum Beispiel wenn f(x) und g(x) differenzierbar sind, dann sind auch f(x) + g(x), -f(x), f(x) · g(x), f(g(x)) und 1/g(x) differenzierbar (natürlich nur dann wenn die Funktion an der entsprechende Stelle stetig ist).