x2 - y2 = 1 ⇔ y2 = x2 - 1 → y = ± √(x2 - 1)
Wir betrachten den Kurvenzweig f(x) = √(x2 - 1) oberhalb der x-Achse.
P habe die Koordinaten ( u | f(u) )
Das schraffierte Dreieck hat den Flächeninhalt A = 1/2 * g * h
mit h = 4-u und g = 2 * f(u)
→ A(u) = (4-u) * √(u2 - 1) DA = ] 1 ; 4 [
Die Maximumstelle bestimmt man analog zu den Extremwerten einer Funktion f(x) mit der Ableitung:
A'(u) = - (2·u2 - 4·u - 1) / √(u2 - 1)
A'(u) = 0 ⇔ 2·u2 - 4·u - 1 = 0 ⇔ u2 - 2u - 1/2 = 0
Die pq-Formel ergibt
u1 = √6/2 + 1 ≈ 2.225 [ u2 ≈ - 0.225 entfällt, weil P im 1.Quadranten liegt ]
A' hat bei u1 einen Vorzeichenwechsel von + nach - → Maximalstelle
( Grenzwerte von A für u →1+ und u → 4- sind beide 0, also gibt es keine Randmaxima)
x = √6/2 + 1 ≈ 2.225 ist also die gesuchte x-Koordinate von P
Gruß Wolfgang