Extremwertaufgabe: Schraffierte Dreiecksfläche soll maximal werden. P auf x^2- y^2 = 1

Question

Ich hab mal wieder Probleme bei ein paar Aufgaben. Eigentlich habe ich bei Extremwertaufgaben generell Probleme, da ich nie richtig weiß wie ich an die Geschichte ran gehen sollte. Hier die Aufgabe :

Hab das jetzt so gemacht, dass ich einmal die Funktion x^2-y^2=1 nach x umgestellt habe und dann in die Funktion A=xy eingesetzt habe......mir fällt gerade auf, dass da wohl der Fehler lag. Aber es sieht ja aus wie ein gleichseitiges Dreieck, welche Formel nehme ich in diesem Fall ?

Answer 1

x² - y² = 1   ⇔  y² = x² - 1  →  y = ± √(x² - 1)

Wir betrachten den Kurvenzweig  f(x) = √(x² - 1)  oberhalb der x-Achse.

P habe die  Koordinaten ( u | f(u) )

Das schraffierte Dreieck hat den Flächeninhalt  A = 1/2 * g * h  

 mit  h = 4-u   und  g = 2 * f(u)

→   A(u) = (4-u) * √(u² - 1)          D_A =  ] 1 ; 4 [

    Die Maximumstelle bestimmt man analog zu den Extremwerten einer Funktion f(x) mit der Ableitung:

       A'(u) = - (2·u² - 4·u - 1) / √(u² - 1)

      A'(u) = 0  ⇔  2·u² - 4·u - 1 = 0  ⇔  u² - 2u - 1/2 = 0 

Die pq-Formel ergibt   

 u₁ = √6/2 + 1  ≈  2.225   [  u₂ ≈ - 0.225 entfällt, weil P im 1.Quadranten liegt ]

  A' hat bei u₁ einen Vorzeichenwechsel von + nach -  →  Maximalstelle 

 ( Grenzwerte von A für u →1⁺  und  u → 4^- sind beide 0, also gibt es keine Randmaxima)

 x = √6/2 + 1  ≈  2.225   ist also die gesuchte x-Koordinate von P

Gruß Wolfgang

Comments

wow vielen Dank sogar so spät wird noch eine Frage beantwortet :D

Answer 2

Hier eine Berechnung mit Skizze

- ( x^2 - 1 ) / √ ( x^2 - 1 ) + ( 4 * x - x^2 ) / √ ( x^2 - 1 )
F ´( x ) = -2 * x^2 + 4 * x +1 / √ ( x^2 - 1 )

Da die Dreiecksfläche auch unterhalb der x-Achse
nochmals vorkommt habe ich das ( * 1/2 ) wegfallen
lassen.
Extremwert : F ´( x ) = 0 ist dann 0 wnn der Zähler 0 ist.
-2 * x^2 + 4 * x +1 = 0
x = 2.22