A und B endliche Mengen sowie Vereinigung

Question

 Es seien A und B endliche Mengen. Zeigen Sie , dass A∪B eine endliche Menge ist.

Comments

Wie habt ihr denn "endliche Menge" definiert ?

---

Eine Menge A heißt endlich, genau dann wenn es ein n∈ℕ₀ gibt, sodass eine Bijekton von A auf ℕ∩{x:x⊆n} existiert. Dieses n ist eindeutig . Wir nenne A  daher eine n-elementige Menge ( n heißt auch größe oder Kardinalität von A. Eine Menge A ist endlich genau dann , wenn einer der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(1) Es gibt n∈ℕ₀ und eine injektive Abbildung f: A --> ℕ₀∩{x:x⊆n}

(2) Es gibt n∈ℕ₀ und eine sujektive Abbildung g:  ℕ₀∩{x:x⊆n} --> A auf A.

Answer 1

Es gilt dass $$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\leq |A|+|B|$$ Davon folgt es dass wenn A und B endliche Mengen sind, dann ist auch die Vereinigung eine endliche Menge.