Lineare Unabhängige Aussagen beweisen

Question

Es seien n ∈ N, v,w ∈ Rn, v 6= w und B = {v,w}. Zeigen Sie, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind:

(a) B ist linear unabhängig.

(b) v ≠ 0 und es gibt kein λ ∈R mit w = λv.

(c) w ≠ 0 und es gibt kein λ ∈R mit v = λw

Wie muss ich das zeigen. Könnt ihr mir dabei helfen.

Answer 1

(a) B ist linear unabhängig.

    x*v +y*w = 0-Vektor       #

         hat als einzige Lösung x=y=0

   =>  es gibt kein λ ∈R mit w = λv. denn falls λ≠0 wäre,

          dann wäre ja  x=λ und y=-1 eine Lösung  von #          und λ=0 geht auch nicht, denn dann wäre w=0 und

              z.B.  x=0 und y=1 wäre eine Lösung von #

           und es ist auch  v ≠ 0 ; denn sonst wäre

                x=1 und y=0 eine Lösung von #   also hat man  (a) ==> (b) entsprechend
 
            ergibt sich (a) ==>  (c) .

Fehlt also nur noch z.B.  (b) ==> (a)                    

Gelte also:       v ≠ 0 und es gibt kein λ ∈R mit w = λv.

      und sei       x*v +y*w = 0-Vektor #

Angenommen es gäbe  eine Lösung mit x≠0 oder y≠0.

1. Fall  y≠0   Dann könnte man # mit 1/y multiplizieren

und hätte         x/y * v + w = 0

                                            w =   - x/y * v 

und damit gäbe es ein λ = -x/y mit  w = λv.  Widerspruch!

2. Fall x≠0     Dann könnte man # mit 1/x multiplizieren

und hätte          v + y/x * w = 0 

                                  v = -y/x * w 

wäre y≠0 gäbe das -x/y * v = w Widerspruch s.o.

wäre y=0 hätte man  v = 0*w , also v=0_vektor

im Widerspruch zur Annahme v≠0.

Also x=0 und y=0 , also v,w lin. unabh.