Wahrscheinlichkeit für 4 Defekte an einem Produkt ist 0.0175. Stichprobe 100 Produkte. P(mind. ein mal 4 Defekte)?

Question

die wahrscheinlichkeit das bei einer kontrolle vier defekte an einem produkt gefunden werden ist 0,0175. wie groß ist die wahrscheinlichkeit das dieses ereignis bei 100 kontrollen mindestens einmal eintritt?

Answer 1

die wahrscheinlichkeit das bei einer kontrolle vier defekte an einem produkt gefunden werden ist 0,0175. wie groß ist die wahrscheinlichkeit das dieses ereignis bei 100 kontrollen mindestens einmal eintritt?

Hier rechnest du am einfachsten über die Gegenwahrscheinlichkeit:

Also zuerst
P(keines hat 4 Defekte) = (1-0.0175)^100 = 0.9825^100 = 17.11%

Dann daraus

P(mindestens 1 hat 4 Defekte) = 1 - (1-0.0175)^100 = 1-0.9825^100 = 82.89%

Comments

laut meiner musterlösung sollte es 82,62% sein. sollte man hier nicht mit der poisson verteilung rechnen?

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Nein. Das ist bei einer mindestens-ein-Frage nicht nötig. Ich habe noch geschaut, ob mein Taschenrechner falsch rundet. Allerdings scheint dies nicht der Fall zu sein:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%3D+1+-+%281-0.0175%29%5E100

Warum genau möchtest du denn mit der Poissonverteilung rechnen?

Ich lese 

'bei einer kontrolle vier defekte an einem produkt gefunden werden' so, dass da 5,6 und mehr Fehler auch gleich mitgemeint sind, weil es nicht

'einer kontrolle genau vier defekte an einem produkt vorhanden sind'

sind.

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Formeln für die Poissonverteilung findest du übrigens hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=poisson+distribution&lk=4&num=1&lk=4&num=1

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ich wollte es mit der poisson verteilung sehen weil dieses ergebenis zwar logisch ist aber nicht mit der musterlösung übereinstimmt und die poissonverteilung bei kleinen wahrscheinlichkeiten und großen n anzuwenden ist. oder?

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Sinn macht das mE erst dann, wenn man nicht mehr direkt rechnen kann. Und z.B. nach exakt 3 bis 10 Produkten, bei denen man 4 Fehler findet, fragt.

Aber Theorie und Formeln müsstest du dann ja irgendwo haben. Da müsste auch daraus hervorgehen, wie du hier einzusetzen hast. Oder nicht?

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https://www.mathelounge.de/24609/wahrscheinlichkeitsrechnung-krankenhaus-blinddarme-operiert

Solltest du eine präzisere Fragestellung vor dir haben, nützt dir die Antwort dort etwas.

Ich bin mir nicht sicher, ob du für µ einfach 100*0.0175 = 1.75 einsetzen darfst, da im Schnitt in einer Stichprobe vom Umfang 100 mit 1.75 Produkten zu rechnen ist, bei denen man 4 Fehler findet.

Jedenfalls solltest du zum Schluss 1 - P(X=0) rechnen, statt P(X=1) + P(X=2) + … + P(X=100)

Answer 2

 

bei Aufgaben wie dieser ("mindestens einmal") rechnet man am besten mit der Gegenwahrscheinlichkeit: 

Die W., dass das Ereignis mindestens einmal auftritt, ist 1 - (W., dass es keinmal auftritt) - diese beiden Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1: Entweder das Ereignis tritt keinmal auf, oder eben zumindest einmal. 

P (Ereignis tritt bei einer Kontrolle nicht ein) = 1 - 0,0175 = 0,9825

P (Ereignis tritt 100 Kontrollen hintereinander nicht ein) = 0,9825¹⁰⁰ ≈ 0,1711 = 17,11%

P (Ereignis tritt bei 100 Kontrollen zumindest einmal ein) ≈ 1 - 0,1711 = 0,8289 = 82,89%

Besten Gruß