Beweise verschiedene Formlen die auf HomomorphismusK angewendet werden können

Question

Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand behilflich bei der Lösung sein kann, habe bald Klausur und müsste dies noch verstehen... danke

Answer 1

a)  wegen dim(V)=1 gibt es eine Basis B von V mit einem Element  , also B = { b} .

Dann gibt es für jedes v aus V ein k aus K mit  v = k*b .

Und für jedes f aus Hom_K (V,W) gilt  dann f(v) = f(k*b) = k*f(b) .   #

Dann ist L :   Hom_K (V,W)  --->  W  ein Isomorphismus
                                 f  → f(b)

Denn L ist sicher linear  L(f+g) = L(f) + L(g) rechnest du einfach nach

ebenso  L (x*f) = x*L(f) für alle  x aus K und  f,g aus  Hom_K (V,W) L Injektiv, denn wenn f ≠ g dann ist f(b) ≠ g(b) , weil wegen # sonst

f (v) = g(v) für alle v aus V wäre, also f=g  Widerspruch.

Und L ist surjektiv, denn wenn w aus W ist, dann betrachte die

lin. Abb.   f :    v  ---->  k*w       falls v=k*b.

Dann ist L(f) = w.