Bruchungleichung mit x auf beiden Seiten, Hilfe !

Question

(4x+1)/(2x+3)<3x-2

Es handelt sich um eine Klausuraufgabe in welcher ich alle reellen 'x', welche diese Ungleichung erfüllen errechnen soll.
Mein eigentliches Problem besteht darin, dass ich, wenn ich wie mit normalen Bruchungleichungen rechne, eine quadratische Gleichung nach dem Ausmultiplizieren erhalte. Das kann aber nicht sein, weil ich so nicht auf das richtige Ergebnis komme und wir in der Klausur zwecks p/q-Formel auch keinen Taschenrechner verwenden dürfen. Wie löse ich also diese Aufgabe?
Danke schonmal für die Hilfe

Answer 1

Die pq-Formel für die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form \(x^2 +px +q = 0 \) lautet:$$x = -\dfrac{p}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \quad \text{oder}\quad x = -\dfrac{p}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.$$

 

Dies lässt sich entsprechend für Ungleichungen formulieren:
Die pq-Formel für die Lösungen einer quadratischen Unleichung der Form \(x^2 +px +q > 0 \) lautet:$$x < -\dfrac{p}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \quad \text{oder}\quad x > -\dfrac{p}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.$$

 

Und:
Die pq-Formel für die Lösungen einer quadratischen Unleichung der Form \(x^2 +px +q < 0 \) lautet:$$x > -\dfrac{p}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \quad \text{und(!)}\quad x < -\dfrac{p}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.$$Kürzere Formulierung für den letzten Ungleichungstyp:$$-\dfrac{p}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} <  x < -\dfrac{p}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.$$

Formeln für Ungleichungen mit \(\le\) oder \(\ge\) ergeben sich durch passendes Ersetzen des Operators.

Quadratische Ungleichungen lassen sich also ebenso gut mit der pq-Formel lösen wie quadratische Gleichungen.

Answer 2

> eine quadratische Gleichung nach dem Ausmultiplizieren erhalte

Das ist richtig.

> Das kann aber nicht sein,

Doch.

> weil ich so nicht auf das richtige Ergebnis komme

Dann liegt dein Fehler wo anders.

Answer 3

(4·x + 1)/(2·x + 3) < 3·x - 2

1. Fall x > -3/2

4·x + 1 < (3·x - 2) * (2·x + 3)

6·x^2 + x - 7 > 0

x < -7/6 ∨ x > 1

Mit Fallunterscheidung: -3/2 < x < -7/6 ∨ x > 1

2. Fall x < -3/2

6·x^2 + x - 7 < 0

-7/6 < x < 1

Keine Lösung nach Fallunterscheidung.

Die Lösung ist also

-3/2 < x < -7/6 ∨ x > 1

Answer 4

nach Lesen deiner Frage könnte ich mir vorstellen, dass du  nach der Antwort von MC noch  Probleme mit den quadratischen Ungleichungen   6·x² + x - 7 > 0   ( < 0 ) 

 ⇔  x² + 1/6 x - 7/6 > 0    ( < 0 ) hast.

Dazu eine allgemeine Anleitung, die ich irgendwann einmal getippt habe:

Lösen einer quadratischen Ungleichung   x² + px + q  >  [<, ≤, ≥]   0

 Die zugehörige Gleichung  x² + px + q = 0  hat die Lösungen

1)  für  (p/2)² - q > 0  die Lösungen   x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)  

2)  für  (p/2)² - q = 0  die Lösung   x = - p/2

3) für  (p/2)² - q < 0  keine Lösungen 

Nun stellt man sich den Parabelterm auf der linken Seite der Gleichung vor. Dessen Graph ist nach oben geöffnet.

Negative Werte hat der Term deshalb ggf. zwischen den Nullstellen

Die jeweilige Ungleichung (mit Ungleichheitszeichen indiziert) hat dann die Lösungsmenge:

1)

L_>  = ] -∞ ; x₂ [ ∪ ] x₁ ; ∞ [    ,      L_≥  = ] -∞ ; x₂ ] ∪ [ x₁ ; ∞ [

L_<  = ] x₂ ; x₁ [    ,    L_≤  = [ x₂ ; x₁ ]

2)

L_>  = ℝ \ { x }     ,    L_≥  = ℝ   ,   L_<  = { }   ,     L_≤ = { x }

3)

L_> =  L_≥  = ℝ     ,          L_< =    L_≤   = { } ,     

Gruß Wolfgang

Answer 5

Herleitung  zur allgemeinen Lösung einer
quadratischen Ungleichung
( Falls das deine Frage / Problem ist )

6·x² + x - 7 > 0

Lösbar durch Mitternachtsformel, pq-Formel oder
quadratische Ergänzung

6* x^2 + x - 7 > 0 | : 6
x^2 + x/6 > 7/6 | quadratische Ergänzung
( x^2 + x/6  +( 1 /12)^2 > ( 168 - 1 ) / 144
( x + 1/12 )^2 > 169 / 144
oder

| x + 1/12 | > 13 / 12

Es gilt
| Term | > Term2
die Aussage bleibt wahr falls quadriert wird zu
( Term )^2 > Term2^2

Lösung
| x + 1/12 | > 13 / 12

x > 1
und
x < -7/6

Soweit das Allgemeine.