In welchen Punkten des Graphen von f ist die Tangentensteigung gleich -1 bzw. 0?

Question

Folgende Aufgabenstellung:

Die Funktion f(x)= (x² + 2)/x

Da soll ich berechnen, welche Punkte die Tangentensteigung von -1 bzw. 0 erfüllen.

Kann mir da jemand bitte helfen?

Answer 1

f(x)= (x² + 2)/x

f(x)= x + 2 / x

f ´( x ) = 1 - 2 / x^2

1 - 2 / x^2 = 0
2 / x^2 = 1
x^2 = 2
x = ± √ 2
P (  ± √ 2 | f ( ± √ 2 ) )

1 - 2 / x^2 = -1
2 = 2 / x^2
x^2 = 1
x = ± 1

P ( ± 1 |  f ( ± 1 ) )

4 Punkte

Comments

Was ist von der ersten auf die zweite Zeile passiert? Ich kann das überhaupt  nicht nachvollziehen...

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f(x)= (x² + 2)/x

Es wurde geteilt

x^2 / x + 2 / x

f(x)= x + 2 / x

Answer 2

Bilde die Ableitung und setze sie = -1 bzw.  = 0.

Die x-Werte die du dabei ausrechnest sind die

x-Werte der gesuchten Punkte.

Comments

Ich habe schon folgendes gebildet:

da f´(x)= (u´v-uv´)/v²

habe ich: f´(x)= (2x*x - (x²+2)*1)/x²

= (2x² - x² +2) x²

= (x²+2)/x²

f´(0) = (x²+2)/x²

x²+2=0

x²=-2

x_1,2=+- Wurzel (2)

Nur was mache ich dann?

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f´(x)= (2x*x - (x²+2)*1)/x²
= (2x² - x² +2) x²

Fehler
f ´( x ) = ( 2*x^2 - x^2 - 2 ) / x^2

Kannst du nun weiterrechnen ?

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Dann komme ich ja auf x= +-√2

aber ich weiß nicht wie dann die weiteren Rechenschritte gehen, wenn ich das in die Ausgangsgleichung einsetze....

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Stellen
x = 1
x = -1
x  = +√2
x = -√2

Punkte
f ( x ) = (x² + 2)/x
f ( 1 ) = ( 1^2 + 2 ) / 1 = 3
P ( 1 | 3 )

Im Punkt  P ( 1 | 3 ) ist die ( Tangenten - ) Steigung -1.

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Gut, danke dass habe ich verstanden,

somit erhalte ich die Koordinaten des Punktes jeweils mit P (+-1/+-3)

dann jedoch habe ich noch ein Problem:

Was passiert wenn ich dann +-√2 in die Ausgangsgleichung einsetzen will um dann die Punkte des anderen zu erhalten. Was geschieht dann wenn ich x² durch √2 ersetze?

Danke

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Natürlich *das

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f ( x ) = (x² + 2)/x
f ( + √2  ) = ( ( +√2)² + 2) /  + √2
f ( + √2  ) = ( ( 2) + 2 ) /  + √2
f ( + √2  ) = 4  /  + √2
f ( + √2  ) = √ 16  /  √ 2  = √ ( 16 / 2 )

f ( + √2  )  =  √ 8  oder 2.828

Answer 3

Die Funktion ableiten dann much f´(x)= 0 bzw. -1 sein

Answer 4

Steigung = 1.Ableitung f '(x)=(x²-2)/x² Wann ist das 0? Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist  (und der Nenner nicht). x=±√2. Wann gilt (x²-2)/x²= - 1? Multiplizieren mit x² ergibt x²-2=-x² und dann 2x²=2 oder x²=1 und x=±1.