eigenwerte von matrix B mittels Eigenwerte von Matrix A angeben

Question

angenommen man hat eine quadratische Matrix A und eine quadratische Matrix B mit B=A²+3A
Um jetzt die Eigenwerte von B auszurechnen, gilt ja für jeden Eigenwert von B: 
Eigenwert B=(Eigenwert A)²+3*Eigenwert A
Würde das auch noch funktionieren, wenn nun als B=A²+3A+7*E, wobei E die Einheitsmatrix definiert wäre?
Gilt dann analog Eigenwert B=(Eigenwert A)²+3*Eigenwert A+1, weil 1 die Eigenwerte der Einheitsmatrix sind?

Answer 1

Hi,
Sei $$ B = A^2 + 3A + E  $$ und \( v \) ein Eigenvektor von \( A \) zum Eigenwert \( \lambda \) dann gilt
$$ B v = A^2 v + 3A v +Ev = \lambda^2 v + 3 \lambda v + v = (\lambda^2 + 3 \lambda + 1) v  $$ Also ist $$ \lambda^2 + 3 \lambda + 1   $$ eine Eigenwert von \( B \)