eigenwerte von matrix B mittels Eigenwerte von Matrix A angeben

Question

angenommen man hat eine quadratische Matrix A und eine quadratische Matrix B mit B=A²+3A
Um jetzt die Eigenwerte von B auszurechnen, gilt ja für jeden Eigenwert von B: 
Eigenwert B=(Eigenwert A)²+3*Eigenwert A
Würde das auch noch funktionieren, wenn nun als B=A²+3A+7*E, wobei E die Einheitsmatrix definiert wäre?
Gilt dann analog Eigenwert B=(Eigenwert A)²+3*Eigenwert A+1, weil 1 die Eigenwerte der Einheitsmatrix sind?

Answer 1

Hi,
Sei $$B = A^2 + 3A + E$$ und $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ dann gilt
$$B v = A^2 v + 3A v +Ev = \lambda^2 v + 3 \lambda v + v = (\lambda^2 + 3 \lambda + 1) v$$ Also ist $$\lambda^2 + 3 \lambda + 1$$ eine Eigenwert von $B$