Eigenwerte von Matrix M angeben, ohne M=X*L*X^{-1} auszurechnen?

Question

M=X*L*X^-1

Man hat hier X und L gegeben.

Wie kommt man hier an die Eigenwerte von M, ohne die Matrix M explizit auszurechnen? Die Vorgehensweise reicht mir aus, danke!

Answer 1

Hi,
$$ \det(M - \lambda I ) = \det( X L X^{-1} - \lambda I ) = \det( X L X^{-1} -\lambda X X^{-1}) = \det(X(L-\lambda I) X^{-1}) = \det(L-\lambda I)$$
D.h. die Matrix \( M \) und die Matrix \( L \) haben die gleichen Eigenwerte.