Formel vereinfachen- wie geht es am leichtesten

Question

Ich muss, z.B für die Partialbruchzerlegung, bestimmte Terme vereinfachen.

So z.B       z^3 + z^2 - 5z + 3

Das Ergebnis habe ich schon gegeben:   = (z-1)^2 * (z+3)

Wie erkenne ich am einfachsten, wie ich den ersten Term umschreibe, um auf so ein Ergebnis zu kommen, wie im zweiten term gegeben.

Normalerweise habe ich den zweiten Term natürlich nicht gegeben, aber ich brauch den für bestimmte Aufgaben.

Kann mir jemand eine Technik sagen, wie ich das am einfachsten mache?

Danke

Answer 1

Du fragst einfach nach den Nullstellen des Termes

z^3 + z^2 - 5·z + 3 = 0

Wenn es eine Ganzzahlige Lösung gibt ist diese Teiler von 3. Also -3, -1, 1 oder 3.

Weil 1 bereits ein Teiler ist macht man eine Polynomdivision oder das Horner Schema an der Stelle x = 1

(z^3 + z^2 - 5·z + 3) / (z - 1) = z^2 + 2·z - 3

Hier kann man eine quadratische Lösungsformel nehmen oder mit dem Satz von Vieta weiter faktorisieren.

So kommt man leicht zu

z^3 + z^2 - 5·z + 3 = (z + 3)·(z - 1)^2

Answer 2

die 1. Nullstelle kannst Du raten (es  ist ein Teiler von 3 , also ± 1;± 3)

Danach wendest Du das HORNER Schema an oder durch Polynomdivision

Polynomdivision:

siehe hier:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

Answer 3

Löse die Gleichung z³ + z² - 5z + 3 = 0 mit einem Taschenrechner. Falls du einen Beweis angeben musst, dass deine Lösung korrekt ist, dann multipliziere (z-1)² · (z+3) wieder aus.

Wenn du keinen geeigneten Taschenrechner einsetzen darfst, dann verwende den Satz über rationale Nullstellen um eine rationale Nullstelle zu finden. Führe dann eine Polynomdivision durch.

Falls das Polynom ungeeignet ist (weil es irrationale Koeffizienten oder keine rationalen Nullstellen hat), dann helfen bei kleinem Grad die Cardanische Formeln.

Falls der Grad zu groß ist, dann gibt's in Einzelfällen Hilfe in der Algebra-Vorlesung.

Answer 4

bestimme die Nullstellen des Terms und faktorisiere ihn entsprechend.

Du kannst z.B die Nullstelle z=1 erraten. Daher kann man den Term in der Form 

$$ z^3+z^2-5z+3=(z-1)(Az^2+Bz+C) $$

schreiben.

Durch Ausmultiplieren des rechten Terms und Koeffizientenvergleich ergibt sich

A=1

B=2

C=-3

Man hat also

$$ z^3+z^2-5z+3=(z-1)(z^2+2z-3) $$

Die Nullstellen von (z^2+2z-3) kannst du mit der pq-Formel bestimmen,

ergibt hier z=1, z=3.

Also hat man letztendlich $$ z^3+z^2-5z+3=(z-1)(z-1)(z+3)=(z-1)^2(z+3) $$

Answer 5

1.Schritt: Nullstellen finden/raten :z^3+z^2-5z+3 Nullstelle 1 
2. Polynomdivision: Du musst den Bruch durch die Nullstelle teilen, bei uns musst du also du (z-1) teilen:z^3+z^2-5z+3: (z-1) =z^2+2z-3
Jetzt wiederholen wir das ganze so lange bis komplett in der Schreibweise steht:
1.z^2+2z-3 Nullstelle : -3

2.z^2+2z-3: (z+3)= (z-1)

Dein finales Ergebnis also:
(z-1)*(z+3)*(z-1)