Hi,
in der fünften Zeile muss es
$$ \ln[L(\lambda)] = N \ln\left( \frac{1}{2 \lambda} \right) - \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^N |x_i| $$ heissen. Da ist bei Dir ein \( N \) zuviel.
Und bei der Ableitung hast Du ein Vorzeichenfehler, richtig ist
$$ \frac{d}{d\lambda}\ln[L(\lambda)] = -\frac{N}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^N |x_i| $$
Daraus fogt dann
$$ \lambda = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N |x_i| $$
