Vorgelegt sei die Funktion f(x) = exp(1−x²)−1.
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D=IR
den Wertebereich W :
1-x^2 bewegt sich im Intervall ] - ∞ ; 1 ]
davon exp gebildet, gibt Werte aus ]0;e]
dann noch 1 gibt W = ]-1;e-1 ]
und die Nullstellen von f. exp(1−x²)−1 = 0
exp(1−x²) = 1
1-x2 = 0
1 = x2
x=1 oder x = -1
b) Ist die Funktion
f für x > 0 umkehrbar? f ' (x) = -2x*exp(1-x
2) ist für alle x>0 negativ , also f dort streng monoton, also umkehrbar:
Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion. y = exp(1−x²)−1
y +1 = exp(1−x²)
ln( y +1 ) = 1−x² ( ln klappt, da y+1 > 0 siehe W )
x² = 1 - ln ( y +1 )
x = √ ( 1 - ln ( y +1 ) ) klappt auch, da 1 - ln ( y +1 ) ≥ 0
c) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades zu f an der Stelle x0 = 1.
T(x) = f(1) + f ' (1) * (x-1) + f ' ' (1) / 2 * ( x-1) 2
= 0 + (-2) * (x-1) + 2/2 * (x-1)2