Dmax, Wmax, Taylorpolynom

Question

liebe Mathefreunde!

Verzweifel gerade an dieser Aufgabe, wäre sehr freundlich wenn mir dabei jemand helfen könnte.

Vorgelegt sei die Funktion f(x) = exp(1−x²)−1.

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D, den Wertebereich W und die Nullstellen von f.

b) Ist die Funktion f für x > 0 umkehrbar? Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion.

c) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades zu f an der Stelle x0 = 1.

:)

Answer 1

Vorgelegt sei die Funktion f(x) = exp(1−x²)−1.

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D=IR


den Wertebereich W :

1-x^2 bewegt sich im Intervall  ] - ∞ ; 1 ]

davon exp gebildet, gibt Werte aus ]0;e]

dann noch 1 gibt   W =  ]-1;e-1 ]


und die Nullstellen von f.     exp(1−x²)−1 = 0 

                                   exp(1−x²) =   1 

                                           1-x²  = 0 

                                                     1 = x² 

                                 x=1  oder x = -1

b) Ist die Funktion f für x > 0 umkehrbar?  f ' (x) = -2x*exp(1-x²)   ist für alle x>0 negativ , also f dort streng monoton, also umkehrbar:


Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion.                                   y = exp(1−x²)−1
                           y +1  =    exp(1−x²)   

                         
                     ln(   y +1 )   =   1−x²      ( ln klappt, da   y+1 > 0 siehe W  )

                               x²     =    1 -     ln (   y +1 )  

                                    x = √ (  1 -     ln (   y +1 )  )   klappt auch, da   1 -     ln (   y +1 ) ≥ 0

 

c) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades zu f an der Stelle x0 = 1.


T(x)  =   f(1)  +   f ' (1) * (x-1)   +  f ' ' (1) / 2   * ( x-1) ² 


          =  0    +  (-2) * (x-1)   +  2/2 * (x-1)²

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Auch ein großes Dankeschön an Sie! :)

Answer 2

Aufgabe c)

                        

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Dank Ihrer Hilfe wird das mit den Taylorpolynomen noch etwas :) Danke :)