Zum Scluss hast ja die Rücksubstitution angewenden und folgendes gefunden:
$$\int x^2\sin (x^3)dx=-\frac{1}{3}\cos (x^3)+c$$
Du kannst also folgendes machen:
$$\int_0^{3\sqrt{\pi}} x^2\sin (x^3)dx=\left [-\frac{1}{3}\cos (x^3)+c\right ]_0^{3\sqrt{\pi}}$$
Oder:
Wenn du die Substitution u=x3 beim bestimmte Integral anwendest, ändern sich die Integralgrenzen:
Wenn das x von 0 bis 3√π läuft, läuft das u von $$u(0)=0^3=0 \ \text{ bis } \ u(3\sqrt{\pi})=(3\sqrt{\pi})^3$$