Question

Es geht um das Integrieren mit der Potenzregel.

f(x)=(x-1)^1/3      F(x)= 3/4 (x-1)^4/3 +C

g(x)=4(x-2)^1/2   F(x)=8/3 (x-2)^3/2 +C

h(x)=100(11-x)   H(x)=50(11-x)²+C

Wieso ist die dritte  Stammfunktion falsch bzw. wieso kann man nicht mit der Potenzregel integrieregn?

Comments

Tipp: h(x) = -100(x - 11).

Answer 1

Hallo Probe, 

die Potenzregel gilt erst einmal nur für  f(x) = xⁿ.

Wenn du sie einfach auf  g(x) = (ax+b)ⁿ  anwendest,  dann ist  1/(n+1) * (ax+b)ⁿ⁺¹  für a≠1 kein Stammfunktionsterm, weil du beim Ableiten wegen der Kettenregel die innere Ableitung berücksichtigen musst:

[ 1/(n+1) * (ax+b)ⁿ⁺¹ ] '  =  1/(n+1) * (n+1) * (ax+b)ⁿ * a  =  a * (ax+b)ⁿ  ≠  g(x)

Deshalb ist ein richtiger Stammfunktionsterm zu g(x) = (ax+b)ⁿ   

              G(x) = 1/(n+1) * (ax+b)ⁿ⁺¹ * 1/a  

Dann kürzt sich die konstante innere Ableitung a beim Ableiten wieder weg.

Bei den beiden ersten Beispielen ist a=1, spielt also beim Ableiten als Faktor keine Rolle.

Bei h(x) = 100 * (11 - x)   ist  die innere Ableitung  -1  (=a)  

→   H(x) = 100 * 1/2 * (11 -  x)² * (-1) + C  = - 50 *  (11 - x)² + C 

Gruß Wolfgang

Comments

Die Stammfunktionen von f und g stimmen oder?

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Ja, das merkst du schon daran, dass beim Ableiten f bzw. g herauskommt. 

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