Potenzregel a hoch 1

Question

Hey:)

Ich habe heute im Matheunterricht die Potenzregel a hoch 0 = 1

Bedeutet das jetzt das 5 hoch 0 = 1 ist?

Ich verstehe gar nicht mehr deswegen bin ich dankbar für jede Hilfe.

Kayla:)

Answer 1

Ja, diese Regel sollte man sich merken.

Jede beliebige reelle Zahl hoch 0 ist immer die Zahl 1.

Answer 2

Hallo,

geschickt die Potenzregeln anwenden

\( \frac{x^{1}}{x^{1}} \)   =1

\( x^{1-1·} \)  = \( x^{0} \)  = 1

daher ist auch \( 5^{0} \)  =1

Answer 3

Es gilt für beliebige ganze \(m,n\geq 0\):

\(a^{m+n}=a^ma^n\), also für \(m=1, n=0\):

\(a=a^1=a^{1+0}=a^1a^0=a\cdot a^0\),

also \(a^0=1\).

Comments

also

Schönes Beispiel für die Vertauschung von Voraussetzung und Folgerung.

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Es gilt für beliebige ganze \(m,n\geq 0\): \(a^{m+n}=a^ma^n\),

Schönes Beispiel für die Vertauschung von Voraussetzung und Folgerung.

Woher soll ich wissen, welche allgemeine Potenzregeln
der Lehrer bereits bewiesen hat?

Mir ist durchaus klar, dass \(a^0=1\) eine Konvention ist.
Wenn man aber als Schüler die von mir genannte
"allgemeine" Regel kennt, kann man sich den
Wert von \(a^0\) herleiten.

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Er kann doch die Potenzregel für den Exponenten 0 ganz bestimmt nicht bewiesen haben ohne vorher zu wissen, was denn a^0 überhaupt sein soll !

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Er kann doch die Potenzregel für den Exponenten 0 ganz bestimmt nicht bewiesen haben

Da hast du Recht. Aber er kann sie einfach behauptet haben und
durch mehrere Beispiele plausibel gemacht haben und eine
Erweiterung der Regel als wünschenswert nahegelegt haben.
Schuldidaktik muss nicht mit Hochschuldidaktik übereinstimmen.

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Du hast mich sinnentstellend zitiert. Selbstverständlich kann er sie bewiesen haben, wenn er zuvor die Potenz a^0=1 definiert (nicht "behauptet" !) hat.

Answer 4

\( 4^{3}=64\)

\( 4^{2}=16 \)

\( 4^{1}=4 \)

\( 4^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{4}=2 \)

\( 4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}≈1,587 \)

\( 4^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{4}≈1,414 \)

\( 4^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{4}≈1,32 \)

................

\( 4^{\frac{1}{10}}=\sqrt[10]{4}≈1,15 \)

\( 4^{\frac{1}{100}}=\sqrt[100]{4}≈1,014 \)

\( 4^{\frac{1}{1000}}=\sqrt[1000]{4}≈1,001 \)

Wird der Nenner des Bruches immer größer, um so kleiner wird das Ergebnis - aber nie kleiner als 1.

Würde eine Zahl kleiner als eins herauskommen: z.B.  \( 0,9\)

so wäre schon  \( 0,9^3=0,729\)    \( 0,729<0,9<1\).

Comments

Danke dir für den Hinweis. Das ist beim Kopieren passiert. Ich habe es berichtigt.

Answer 5

Hast du mal in deinen Taschenrechner 5^0 eingegeben welchen Wert der Taschenrechner da berechnet? Aber es gibt auch eine Ausnahme. 0^0 ist normal nicht definiert, D.h. dort sollte dir dein Taschenrechner auch einen Rechenfehler anzeigen.

Comments

Damit kannst du dann allenfalls überprüfen, ob sich der Programmierer des TR an mathematische Konventionen gehalten hat.

Answer 6

Für natürliche Exponenten \(1,2,3,4,\dots\) gilt das Potenzgesetz

        \(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\).

Das kann man sich an einem Beispiel klar machen:

        \(\begin{aligned}7^2\cdot 7^3&=(7\cdot 7)\cdot (7\cdot7\cdot7)\\&=7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot 7\\&=7^{2+3}\end{aligned}\).

Man möchte Potenzen auch mit ganzzahligen Exponenten \(\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\) zulassen. Die Definition

        \(a^n\) ist ein Produkt aus \(n\) Faktoren, die alle \(a\) sind

kann dann nicht mehr verwendet werden. Was soll denn bitteschön ein Produkt aus \(-5\) Faktoren sein?

Deshalb verwendet man für \(0\) und negative Zahlen als Exponent eine andere Definition. Diese neue Definition entstammt der Überlegung, dass auch weiterhin obiges Potenzgesetz gelten soll. Für \(0\) als Exponent bedeutet das, es soll

        \(a^0\cdot a^m = a^{0+m}\)

gelten. Wegen \(0+m = m\) soll also

      \(a^0\cdot a^m = a^{m}\)

gelten. Teilt man diese Glecihung durch \(a^m\), dann bekommt man

      \(a^0 = \frac{a^m}{a^m}=1\).

Deshalb legt man fest, dass \(a^0=1\) sein soll.

Bedeutet das jetzt das 5 hoch 0 = 1 ist?

Ja.