Für natürliche Exponenten \(1,2,3,4,\dots\) gilt das Potenzgesetz
\(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\).
Das kann man sich an einem Beispiel klar machen:
\(\begin{aligned}7^2\cdot 7^3&=(7\cdot 7)\cdot (7\cdot7\cdot7)\\&=7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot 7\\&=7^{2+3}\end{aligned}\).
Man möchte Potenzen auch mit ganzzahligen Exponenten \(\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\) zulassen. Die Definition
\(a^n\) ist ein Produkt aus \(n\) Faktoren, die alle \(a\) sind
kann dann nicht mehr verwendet werden. Was soll denn bitteschön ein Produkt aus \(-5\) Faktoren sein?
Deshalb verwendet man für \(0\) und negative Zahlen als Exponent eine andere Definition. Diese neue Definition entstammt der Überlegung, dass auch weiterhin obiges Potenzgesetz gelten soll. Für \(0\) als Exponent bedeutet das, es soll
\(a^0\cdot a^m = a^{0+m}\)
gelten. Wegen \(0+m = m\) soll also
\(a^0\cdot a^m = a^{m}\)
gelten. Teilt man diese Glecihung durch \(a^m\), dann bekommt man
\(a^0 = \frac{a^m}{a^m}=1\).
Deshalb legt man fest, dass \(a^0=1\) sein soll.
Bedeutet das jetzt das 5 hoch 0 = 1 ist?
Ja.