Ganzrationale Funktion 3 Grades

Question

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat bei x= 1 eine Null und eine Extremstelle. AUsserdem verlaufe der Graph der Funktion, die h(x) heißen soll durch die Pinkte A (2/1) und B(0/5)

1. )Ermittle die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion h(X).

2.) Zeigen Sie dass die Funktion f mit F(x) = 2 x 3+9x3-12x+5 die obigen Eigenschaften der Funktion erfüllt und berechnen sie die Koordinaten des Wendepunktes f.

3.) Stellen sie die Funktion f im Intervall -1<=x<=4 grafisch dar

4.) eine Gerade g verlaufe durch den Schnittpunkt des Grafen von f mit der y-Achse und dem Punkt P 2,5/0)

    Ermitteln sie die Gleichung der Gerade g und zeichnen sie die Gerade in ihrer grafischen Darstellung

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Was verstehst du daran nicht?
Wo sind Probleme?

Answer 1

1. Schritt: Informationen aus dem Text herauslesen. 

1. Bei x = 1 eine Nullstelle somit muss der Y-Wert gleich Null sein und wir erhalten einen Punkt N ( 1 I 0 ) 
2. Bei N ( 1 I 0 ) einen Extrempunkt, das sagt uns hier, in diesem Punkt ist die Steigung 0, also die Erste ableitung = 0.
3. Der Graph verlaufe durch A ( 2 I 1 ) 
4. Der Graph verlaufe durch B ( 0 I 5 ) 

Wie sieht eine Ganzrationale Funktion 3. Grades aus ? 

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c


2. Schritt: Informationen mithilfe der Funktionen/Gleichungen verwerten

Wichtig: Ein Punkt besteht immer aus einem X-, und Y-Wert. Z.B. Punkt P ( X I Y ).
Und der Y-Wert ist nichts anderes als der Funktionswert f(x) vom jeweiligen X-Wert.
P ( X I Y ) = ( X I f(X) ).
Gemäss diesem Schema verwerten wir die Infos 1-4.

1. f(1) = 0 
2. f'(1) = 0 
3. f(2) = 1 
4. f(0) = 5

Obiges in f(x) bzw. die 2. Information in f'(x) einsetzen.

1. f(1) = 0 
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
0 = a1³ + b1² + c1 + d
0 = a + b + c + d

2. f'(1) = 0
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
0 = 3a1² + 2b1 + c
0 = 3a + 2b + c
 
3. f(2) = 1 
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
1 = a2³ + b2² + c2 + d
1 = 8a + 4b + 2c + d

4. f(0) = 5
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
5 = a0³ + b0² + c0 + d I a, b, c weg
5 = d


3. Schritt: Verwertete Informatinen mit d = 5 "aktualisieren" und neu auflisten 

Die 5 dann auf die linke Seite nehmen indem auf beiden Seiten minus 5 gerechnet wird. So bleiben dann nur a, b, c rechts.

1. -5 = a + b + c 
2. 0 = 3a + 2b + c
3. -4 = 8a + 4b + 2c


4 Schritt. Eliminieren durch Subtraktions-, Additions-, oder Einsetzungsverfahren

Ich sehe wenn ich die 2 Gleichung *(2) nehme und von der 3. Gleichung subtrahiere fallen b und c weg, dann bekomme ich a heraus. 

2. 0 = 3a + 2b + c *(2)

2. 0 = 6a + 4b + 2c
3. -4 = 8a + 4b + 2c (minus)
4 = -2a I :(-2)
-2 = a

Ich sehe wenn ich in die 1. Gleichung mit der 2. Gleichung dassubtrahiere, eliminiere ich das c und kann anschliessend für a gemäss obigem resultat für a -2 einsetzen. 

1. -5 = a + b + c 
2. 0 = 3a + 2b + c (minus)
-5 = -2a - 1b I a = -2
-5 = -2*(-2) - 1b
-5 = 4 - 1b I -4
-9 = -1b 
9 = b

a = -2, b = 9 in Gleichung 1. (wo bereits d = 5 verwertet ist) einsetzen und nach c auflösen.

1. -5 = a + b + c  I a = -2, b = 9
-5 = -2 + 9 + c 
- 5 = 7 + c I -7
-12 = c

5. Schritt: a,b,c,d in f(x) einsetzen
Wobei f(x) h(x) heissen soll

a = -2, b = 9, c = -12, d = 5
in f(x) = ax³ + bx² + cx + d 

h(x) = -2x³ + 9x² + -12x + 5

Resultat : h(x) = -2x³ + 9x² - 12x + 5









 

Comments

Ich habe versucht möglichst die Rechenschritte nachvollziehbar zu halten, solltest du etwas nicht verstehen, kannst du einfach fragen.

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Kurze Erklärungen

Wieso zusätzlich die erste Ableitung ? 

Da wir auch bei der 2. Information aus dem Text einen Extrempunkt (Was nichts anderes bedeutet als die Steigung = 0) haben und wir die Steigung durch die erste Ableitung herauskriegen brauchen wir zusätzlich noch die erste Ableitung von der Grundform der Ganzrationalen Gleichung 3. Grades. 
Auf die zweite Ableitung können wir in diesem Fall verzichten weil die Information im Text sagt uns dass es ein Extrempunkt ist, das brauchen wir nicht weiter zu überprüfen.   

3 Schritt: Wie d = 5 einsetzen und umstellen ?

1. 0 = a + b + c + 5 I -5
=> -5 = a + b + c 

2. 0 = 3a + 2b + c

3. 1 = 8a + 4b + 2c + 5 I -5 
=> -4 = 8a + 4b + 2c     

Dann eben wie oben bei Schritt 3 neu aufschreiben...

Subtraktionsverfahren sollte eingentlich klar dargestellt sein, und sobald man im Laufe der Rechnungn eine neue Variable herausgefunden hat, kann man diese Auch gerade in den darauffolgenden Rechnungen verwerten. So werden die unbekannten schneller bekannt. 

Und anhand des Abbildes des Graphen siehst du dass der Graph durch den Punkt A ( 2I1), B(0I5)  und N (1I0) geht und in N ein Extrempunkt die Steigung 0 (horizontal) ist.
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