Gegeben seien zwei gleiche unfaire Münzen. Auf den jeweiligen Seiten der Münzen befinden sich die Ziffern 0 und 1 und es wird nach einem Wurf mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0 , 1) die Ziffer 1 angezeigt. Sei Xi^{n} die Zufallsvariable, die die Summe aller Ziffern der i-ten Münze bis einschließlich dem n-ten Wurf angibt. Berechnen Sie
a)die gemeinsame Verteilung von ( X1^{ n1 } ,X2 ^{ n2 } ), für n1 ,n2 ∈ N
b) die Verteilung von X1^{n1} + X2^{ n2 }
c) die Bedingte Verteilung von X1^{ n1 } gegeben X1^{n1} + X2^{ n2 } = n
d) den bedingten Erwartungswert X2^{ n2 } gegeben X1^{n1} + X2^{ n2 }=n
Einen Teil meine ich schon zu haben:
a)Die beiden Zufallsvariablen sind unabhängig voneinander.
Die Variablen haben beide eine Verteilung der Form:
$$\frac { \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-1 \\ n-k \end{pmatrix} }{ { 2 }^{ n } } $$
Also gilt für die gemeinsame Verteilung:
P( X1^{k1} =n1 ,X2 ^{n2} =k2 ) =
$$\frac { \begin{pmatrix} { n }_{ 1 } \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { n }_{ 1 }-1 \\ { n }_{ 1 }-k \end{pmatrix} }{ { 2 }^{ { n }_{ 1 } } } *\frac { \begin{pmatrix} { n }_{ 2 } \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { n }_{ 2 }-1 \\ { n }_{ 2 }-k \end{pmatrix} }{ { 2 }^{ { n }_{ 2 } } } $$
b) Wie funktioniert das nun? Muss ich jetzt bestimmen: P(X1^{n1} + X2^{ n2 }= k1 + k2 ?
c und d machen sind ohne b leider nicht möglich.
