Kritische Punkte bestimmen [EDIT] (Uni) f(x,y) = e^ ((x^2 - y^2)/4 )

Question

Ich habe eine Woche in der Uni gefehlt und schon ein neues Thema. Ich muss die kritischen Punkte bestimmen sowie die kritischen Punkte als Maximum, Minimum oder als Sattelpunkt "klassifizieren". Bedeutet das, dass ich einfach partiell ableiten muss und dann wie immer Hinreichendes Kriterium, N.K. ...?  

Wie berechnet man nun Nullstellen, wenn man derartige E-Funktionen hat?

PS: Entschuldigung für den vorherigen falschen Beitrag.

Comments

 Ich habe eine Woche in der Uni gefehlt und schon ein neues Thema. Ich muss die kritischen Punkte bestimmen sowie die kritischen Punkte als Maximum, Minimum oder als Sattelpunkt "klassifizieren". Bedeutet das, dass ich einfach partiell ableiten muss und dann wie immer Hinreichendes Kriterium, N.K. ...?

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EDIT: Steht (x^2 + y^2)/4 als Ganzes im Exponenten und e ist die Basis?

Was meinst du mit "komplex"? x und y sind nicht reell?

Ideen hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E((x%5E2+%2B+y%5E2)%2F4+)

Am besten besorgst du dir die Unterlagen aus der Uni, damit du dann die Kriterien so verwendest, wie es bei euch erwünscht ist.

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Ja. Partielle Ableitungen bilden und Null setzen.

Die Funktion kann man trotzdem nicht richtig lesen. Steht der Bruch im Exponenten?

f(x, y) = EXP((x^2 - y^2)/4)

f'(x, y) = [x·EXP(x^2/4 - y^2/4)/2, - y·EXP(x^2/4 - y^2/4)/2]

Die Ableitungen werden nur bei x = y = 0 Null.

Was passiert wenn du ausgehend von x = y = 0 das x erhöhst? Was passiert wenn du das y erhöhst? Um was für einen Punkt wird es sich dann handeln?

Answer 1

e^{irgendetwas} ist nie 0.

Nullstellen können nur in den andern Faktoren deiner Ableitung versteckt sein. Setze diese Null.

Deine partiellen Ableitungen müssen aber

e^{irgendetwas} * (2x)/4 und e^{irgendetwas} * (-2y)/4 heissen.

Das ändert nichts daran, dass x=y=0 rauskommt für den (einzigen!) kritischen Punkt.

Zur Erinnerung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E((x%5E2+-+y%5E2)%2F4+)

 

Comments

also x=2, indem ich die E-Funktion und dessen Exponenten einfach ignoriere

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2x/4 = 0

==> x = 0

-2y/4 = 0

==> y = 0

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Im Exponent sollte die Differenz und nicht die Summe stehen.

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EDIT: Danke. Habe ich soeben bearbeitet.

Nun passt Sattelpunkt: https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix#Extremwerte

Answer 2

Einfach partiell ableiten und 0 setzen ergibt \( x = 0 \) und \( y = 0 \)

Die Hessematrix bilden für den kritischen  Punkt und Du siehst, die Matrix ist indefinit.

Comments

Was ist eine Hessematrix? Bin bisschen verwirrt ^^

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Die Hesse Matrix sieht folgendermassen aus

$$ H_f(x,y) = \begin{pmatrix}  f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}  $$

Wenn diese Matrix positif definit ist liegt ein Minimum vor
Wenn diese Matrix negativ definit ist liegt ein Maximum vor
Wenn diese Matrix indefinit ist liegt ein Sattelpunkt vor

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

Die Definitheit kann man über die Hauptminoren oder die Eigenwerte bestimmen.

Answer 3

 

der einzige kritische Punkt ist (0|0)  (vgl. oben)

statt der Hessematrix kannst du erst einmal folgende Kriterien benutzen ( x=0 und y=0 in die partiellen Ableitungen einsetzen):

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 →  Extrempunkt 

                         < 0  →  Sattelpunkt

                         = 0     erfordert leider eine weitere Betrachtung mit Hessematrix

im Fall "Extremum" weiter:

f_xx  < 0  →  Hochpunkt         

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

Gruß Wolfgang