Warum schneidet sie sich je in einem Punkt bei einer Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende und Höhe in einem Dreieck

Question

Ich kann Mittelsenkrechte, Winkelhalbierede, Seitenhalbierende und Höhe in einem Dreieck konstruieren und kann begründen, warum sie sich je in einem Punkt schneiden.

Kann mir jemand das warum beantworten?

Answer 1

Für Mittelsenkrechte ist es besonders einfach:

Auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen alle Punkte, die

von den Endpunkten die gleiche Entfernung haben.

also haben die Punkte von m_a gleiche Entfernung r von B und C.

und  die Punkte von m_b gleiche Entfernung r von A und C.

Dann ist ihr Schnittpunkt von A,B und C gleichweit

entfern und liegt also auf der 3. Mittelsenkrechten.

Für die Winkelhalbierenden so ähnlich, da haben die

Punkte alle von den Schenkeln des Winkels den gleichen

Abstand.

Answer 2

Man beweist drei Sätze getrennt voneinander:

1. Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

2. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

3. Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Exemplarisch sei hier 3. vorgeführt:

Jeder Punkt der Winkelhalbiereden von β hat von c den gleichen Abstand wie von a. (Das ist die Definition der Winkelhalbierenden.) Jeder Punkt der Winkelhalbiereden von γ hat von a den gleichen Abstand wie von b. Dann gibt es einen Punkt P, der von a, b und c den gleichen Abstand hat- P hat von b den gleichen Abstand, wie von c und lnegt folglich auf der Winkelhalbierenden von α. Alle drei Winkelhalierendeschneiden sich also in P.

Bei jedem Beweis muss man sich auf die Definition der Gerade im Dreieck berufen,um die es gerade geht.