Projektion eines Punktes auf die Ebene

Question

wie löse ich folgende Aufgabe?:

Gegeben seien die Punkte A=(1, 2, 3),  B=(0, 2, 3),  C=(0, 0, 3).

a) Berechne den Punkt in E, der durch die Projektion von P=(1, 0, 5) auf E entsteht.

Danke.

Answer 1

Hallo Wolfi,        

ich schreibe Vektoren in  Zeilenschreibweise  [x, y, z]  : 

die Ebene e_ABC hat die Richtungsvektoren

\(\overrightarrow{AB}\) =  [-1, 0, 0]    und  \(\overrightarrow{AC}\) = [-1, -2, 0] 

Deren Kreuzprodukt  \(\overrightarrow{AC}\) x \(\overrightarrow{AB}\) ist ein Normalenvektor der Ebene: \(\vec{n}\) = [0, 0, -2]

Normalenform von e:   [0, 0, -2] * \(\vec{x}\) - [0, 0, -2] * [1, 2, 3]  =  0

Die Lotgerade g durch P mit  \(\vec{n}\) als Richtungsvektor steht senkrecht auf e und schneidet e im Projektionspunkt E.

Zur Berechnung setzt man den beliebigen Punkt  \(\vec{x}\) = [1, 0, 5] + r·[0, 0, -2] der Lotgeraden in die Normalenform von e ein. Der Parameterwert r in g eingesetzt ergibt den Punkt E.

      →   r = 1

[1, 0, 5]  - 1·[0, 0, -2] =  [1, 0, 3]  =  E 

Gruß Wolfgang

Comments

Der Punkt P' sollte auch die 3. Koordinate 3 haben. Also P ' (1,0,3) .

Ich habe mal eine Antwort verfasst, da ich nicht verstehe, was du nach n noch gemacht hast.

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Sorry, hatte in den Term der Lotgeraden den falschen Richtungsvektor eingesetzt. Danke für den Hinweis, habe es korrigiert.

Im Übrigen geht es wegen der 3 gleichen z-Koordinaten von A,B und C hier natürlich einfacher (Antwort 2 von Lu).

Aber so hat der Fragesteller halt auch einen allgemeinen Lösungsweg.

Answer 2

Die Gleichung der Ebene E ist doch einfach:

E_ABC:  z= 3?   Grund: A, B, C bilden ein (nicht-triviales) Dreieck und haben alle die z-Koordinate z=3.

Normalenvektor n=(0,0,1)   [Richtung stimmt noch mit Wolfgangs Rechnung überein.

Der Punkt P' sollte auch die 3. Koordinate 3 haben.

Also P in z-Richtung verschieben bis P' auch die z-Koordinate 3 hat. Also P ' (1,0,3) .