Berechnung gedrehtes Rechteck (schwierige Frage)

Question

ein Rechteck ist um X Grad gedreht. Das Rechteck hat die Seitenlängen a und b.

Nun möchte ich die Seitenlängen des kleinstmöglichen, nicht gedrehten Rechtecks ausrechnen, in das das erste Rechteck hineinpasst.

Nicht ganz einfache Aufgabenstellung.

Answer 1

Hallo Dennis - willkommen in der Mathelounge,

Deine Berechnung ist richtig. Man sie kann sie etwas einfacher aufschreiben. Aus folgender Skizze

kann man die Masse für das Rechteck PQRS also die Seitenlängen - hier \(x\) und \(y\) genannt - direkt ablesen. Der Winkel (blau) sei \(\varphi\)

$$x=AQ + PA=a \cdot \cos{\varphi} + b \cdot \sin \varphi$$

$$y=DS + PD= a \cdot \sin{\varphi} + b \cdot \cos \varphi$$

Achtung: das gilt nur für Winkel von 0 bis 90°.

Solltest Du das für eine Art Kollisionsprüfung oder Raytracer oder ähnliches benötigen, so würde ich eine andere Vorgehensweise vorschlagen. Falls ja - so melde Dich nochmal.

Gruß Werner

Answer 2

Erstes Rechteck: ein um x° gedrehtes Rechteck.

"Nicht gedrehtes Rechteck" hat logischerweise die gleichen Maße, wie das erste Rechteck (denn beim Drehen ändern sich die Maße nicht).

Ein nicht gedrehtes Rechteck passt im allgemeinen  nicht in ein gedrehtes Rechteck (der gleichen Maße) hinein.

Sollte die Sache aber so gemeint sein, dass sich meim Drehen die Maße ändern, gibt es kein klar definiertes kleinstes.

"Nicht ganz einfache Aufgabenstellung." Offenbar nicht der Originaltext der Aufgabe..

Comments

Die benötige die Antwort für ein Projekt. Ich hab die Frage also selbst formuliert. Zur Veranschaulichung habe ich ein Bild erstellt. Das äußere Rechteck ist also größer als der Innere. Das innere ist gedreht (im Bild ca. 45 Grad). Das Äußere ist nicht gedreht. Die Maße des Äußeren sollen berechnet werden.

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Die von dir dargestellten Rechtecke sind Quadrate, als ganz spezielle Rechtecke. Außerdem hat das gedrehte Quadrat andere Maße, als das nicht-gedrehte. Beides war in deiner ursprüngliche Aufgabenstellung nicht zu erkennen.

"Nun möchte ich die Seitenlängen des kleinstmöglichen, nicht gedrehten Quadrats ausrechnen, in das das gedrehte Quadrat hineinpasst" (Rote Wörter von mir geändert).

"Die Maße des Äußeren sollen berechnet werden."

Du meinst offenbar folgende Aufgabe: Welches ist das im Flächenmaß kleinste Quadrat, das ein gegebenes Quadrat in sich aufnimmt.

Zur Antwort auf diese Frage mache dir zuerst klar, dass in deiner Skizze das äußere Quadrat genau die doppelte Fläche des inneren hat. Durch Drehen wird es von dieser Ausgangslage aus betrachtet nur noch kleiner. Das kleinste äußere Quadrat wird also erreicht, wenn es genau auf dem inneren liegt.

Auch dies ist keine gute Fragestellung im Rahmen eines Projektes. Es wird doch irgend einen Origialtext zu deinem Projekt geben, den ich gerne wüsste.

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Es müssen Rechtecke sein, nicht Quadrate. Ich hab ein bisschen rumprobiert und bin auf folgende Lösung gekommen. c und c2 sind hier a und b des gedrehten Rechtecks:

beta = 90° - x

a2 = c2 * cos(beta)

a = c * cos(beta)

b = sqrt(c*c - a*a)

b2 = sqrt(c2*c2 - a2*a2)

Ergebnis Höhe = a + b2

Ergebnis Breite = a2 + b

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"Das Rechteck hat die Seitenlängen a und b" (Formulierung des Fragestellers).

Deine Antwort:

Ergebnis Höhe = a + b²

Ergebnis Breite = a² + b.

Wähle jetz als Beispiel a=3 und b=5.

Ergebnis Höhe = 3 + 25 =28

Ergebnis Breite = 9+5 = 14

Lege jetzt mal in das Rechteck mit den Seitenlänge 28 und 14 das Rechteck mit den Seitenlängen 3 und 5. Sollte das so gemeint sein?

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a2, b2 und c2 sind eine eigene Variablen. Es müsste also heissen: a_2,b_2,c₂