Extremwertaufgabe mit Kegel Volumen maximal Winkel α gesucht

Question

ich bräuchte bitte Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Gegen ist ein Kreis mit dem Radius r=10cm(ist der Radius des Kreissektors, der den Mantel bilden soll). Rollt man einen Kreissektor zusammen, entsteht ein Kegel.

Bei welchem Zentriwinkel α des Sektors entsteht ein Kegel mit maximalem Volumen?


Als Haupbedingung hab ich: V=1/3πr2h 
Als Nebenbedingung hab ich:rk=(10*α)/360
                                               h=sqrt(10^2-r^2)
Als Zielfunktion hab ich V=1/3π((r*h*α)/360)*sqrt(rh)^2-((r*h*α)/360)^2

So weit so gut. Setz ich jetzt die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein erhalte ich eine unglaublich lange Formel die ich nicht lösen kann. Vielleicht kann mir da wer helfen?

P.S. sqrt=Wurzel

Answer 1

Also ich versuche mal das in zwei Schritten zu machen.

Die Mantellänge s bleibt ja immer gleich und für sie gilt s^2=10^2=h^2+r^2 (Pythagoras)

Unser zu maximieren des Volumen ist ja V=1/3*π*r^2*h

Aus der ersten gleichung kriegen wir h=√(100-r^2) und setzen es in die zweite gleichung ein.

V=1/3*π*r^2*√(100-r^2)

Das versuchen wir jetzt mal abzuleiten

V'=1/3*π*(2r*√(100-r^2)-r^2*2r/2√(100-r^2))=0

2√(100-r^2)-r^2/√(100-r^2)=0

200-2r^2-r^2=0

200-3r^2=0

r^2=200/3

r=√(200/3)

r=8,165

So nun ergibt sich mit diesem Radius der Umfang des grundkreises des Kegels zu

U=2*π*8,165=51,3

Jetzt stellt sich die Frage, bei welchem zentriwinkel des ausgangskreises man eine bogenlänge von 51,3 bekommt.

U=2*π*10*α/360°=51,3

α=51,3/(2*π*10)*360°

α=293,94°

Comments

Oh. You are right! Ich hatte einen kleinen Denkfehler in meiner Rechnung. Komme jetzt aber auch auf dein Ergebnis.

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Oh super. Ich hatte schon angefangen nach meinem Fehler zu suchen...

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Wenn du meine Rechnung anschaust, wirst du aber feststellen, das es eventuell günstiger ist r^2 statt h zu ersetzen um auf die Zielfunktion zu kommen. Dann braucht man sich mit keiner Wurzel rumschlagen.

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Ja das stimmt. Guter Hinweis...!

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Der Vollständigkeithalber. Wurde vor 2 Tagen
auch schon einmal gestellt

https://www.mathelounge.de/426199/sollen-einen-kegel-besten-winkel-maximale-volumen-bestimmen

Eure Lösungswege  sind das was ich gesucht habe.

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Erst mal vielen Dank für eine schnelle Antwort. So weit hab ich das verstanden, hab nur noch eine Frage bei der Ableitung teilt man im 2. Abschnitt durch 2√(100-r²) oder nur durch 2?

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V'=1/3*π*(2r*√(100-r²)-r²*2r/2√(100-r²))=0

V ' =1/3*π *   ( 2r*√(100-r²)  -  r² * ( 2r ) / ( 2 * √(100-r²) )  ) = 0
so ist es richtig

√ ( term ) = term ´ / ( 2 * term )
√ ( 100-r² ) = ( - 2 * r ) / ( 2 * √(100-r²) )

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Ja da fehlt eine klammer. Danke für den Hinweis. Man teilt auch durch die Wurzel. Ich ändere das jetzt mal nicht, da Georg das schon so anschaulich ergänzt hat.

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Nun leider muss ich noch einmal zwei Sachen nachfragen wenn ihr V` umformt teilt ihr dann durch r? im ersten Schritt und wie löst ihr dann die Wurzel auf? und die zweite Sache ist wenn ich die 2. Ableitung bilde:

(2π(3r⁴-450r²+10000))/3(100-r²)^1,5

und r=8,165 einsetzte ist das Ergebnis positiv und damit ist an dieser Stelle ein Minimum.

Mein Gedanke ist das das daher kommt das ich mit r den Winkel ausrechne der übrig bleibt und nicht der der "rausgeschnitten wird". Habt ihr da noch ein Tipp.

Ich hoffe ich belästige euch nicht zu sehr.

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Mein Tipp ist wie in meiner Rechnung vorzugehen. Dann brauchst du dich nicht mit der Wurzel rumplagen.

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V=1/3 * π * r² * √(100-r²)

Soviel abplagen muß man sich auch nicht.
Ich bringe die r^2 in die Wurzel.

V=1/3*π * √( (100-r²) * r^4 )
V=1/3*π * √ (100*r^4 - r^6 )

Für die Ableitung nach r brauche ich nun nur
die eine Wurzel ableiten

V ´( r ) =1/3*π * (400*r^3 - 6*r^5  ) / Nenner

Da ich nur den Extremwert suche kann ich schreiben
(400*r^3 - 6*r^5  ) = 0
r^3 * ( 400 - 6 * r^2 ) = 0
400 - 6 * r^2 = 0
r = 8.16

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Ich hoffe ich belästige euch nicht zu sehr.

Keinesfalls.
Dazu ist das Forum da.

Answer 2

In den letzen Zeilen hatte sich noch ein Rechenteufel verborgen, den ich korrigiert habe.

h^2 = 10^2 - r^2 --> r^2 = 10^2 - h^2

V = 1/3 * pi * r^2 * h

V = 1/3 * pi * (10^2 - h^2) * h

V = 100/3·pi·h - 1/3·pi·h^3

V' = 100/3·pi - pi·h^2 = 0 --> h = 10/3·√3 = 5.773502691

r = √(10^2 - h^2) = √(10^2 - (10/3·√3)^2) = 10/3·√6

α = 2·pi·(10/3·√6)/(2·pi·10)·360° = 120·√6° = 293.9°

Ich hoffe das ist in etwa richtig.