Grenzwerte bestimmen. Bsp. 1) an= (q^n-1) / (2^n+2) für alle q ∈ ℝ

Question

Hallo

Ich lerne grad über Grenzwerte und ich habe paar folgen bei denen ich Grenzwerte bestimmen muss, leider habe zu diese Aufgaben keine Lösungen und ich weiß nicht ob ich es richtig gemacht habe. Könnte mir jemand helfen?

1) a_n= (qⁿ-1) / (2ⁿ+2) für alle q ∈ ℝ

2) a_n = ⁿ√(2ⁿ + 3ⁿ + 5ⁿ)

3) b_n+1= √(2b_n+4)-1 b₀=6

4) lim_x→∞ = ( ln(1/x) ) / (e^x)

5)  lim_x→0 = x² / (2-2cos(x))

6) G1:= lim_x→0 (e ^sin(x)) / ( (sin(2x))² )

7) G2:=lim_x→0  (a^sin(x) -1) / (b^x-1)  für a,b > 0

ich würde mich echt für eure Antwort freuen :)

Comments

EDIT: Bitte Schreibregeln beachten https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Eine Frage pro Frage. Wenn möglich einen Lösungsversuch mit deinen Erklärungen einstellen, damit man sieht, wo es Probleme gibt und wie euer Formalismus aussieht.

Habe die 3 Kommentare von Roman in eine Antwort umgewandelt. 

Answer 1

Zu Aufgabe 1:  Hemdsärmlige Lösung:  Für große n kann man die addierten Konstanten weglassen und bekommt (q/2)^n.  Der Limes ist für |q| < 2 null.  Für |q| > 2 divergiert die Folge.  q = 2:  Der Grenzwert ist 1.  q = -2:  Die Folge divergiert.

Comments

Zu Aufgabe 2:  Graphikfähiger Taschenrechner:  Da kommt 5 raus.  Da die Folge konvergiert, suchen wir eine konvergent Majorante und Minorante.  Die Majorante ist (5^n + 5^n + 5^n)^{^/n} = (3 * 5^n)^{1/n} = 5.  Die Minorante ist (5^n)^{1/n} = 5.  Da die gegebene Folge zwischen Minorante und Majorante liegt, muss sie auch gegen 5 gehen.

---

Zu Aufgabe 4:  l’Hospital: 
$$lim\quad \frac { ln\frac { 1 }{ x }  }{ { e }^{ x } } \quad =\quad lim\frac { \frac { d }{ dx } ln\frac { 1 }{ x }  }{ \frac { d }{ dx } { e }^{ x } } \quad =\quad lim\frac { -1 }{ x\quad *\quad { e }^{ x } } \quad =\quad 0$$
Man leitet also den Zähler und den Nenner ab.