Wie berechne ich die Grenzwerte? Bsp. [(n+1)^k-n^k]/n^{k-1} für k ∈ ℕ und n→∞?

Question

Wie berechne ich den Grenzwert von [(n+1)^k-n^k]/n^{k-1}  für k ∈ ℕ  und n→∞  ?

Ich habe bis jetzt Grenwerte von Folgen und Funktionen berechnet, aber die waren ein wenig leichter formuliert :)

Anderes Beispiel: (1-(1/n^2))^n

Kann ich wie immer die Funktion umstellen und dann mit dem Limes den Grenzwert berechnen?

lim_→∞ [(n+1)^k-n^k]/n^{k-1}= lim_→∞ [(n^2+2n+k^2)-n^k] / [(1/n)*(n^k)]=lim_→∞ ....?

lim_→∞  (1-(1/n^2))^n= lim_→∞ ...?

Answer 1

Meinst du das so:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}} \quad k \in \mathbb{N}$$

???

Comments

ja, dass mit den Klammern ist leider immer etwas unübersichtlich

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Der nächste Schritt wäre dann :

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^k}{n^{k-1}} - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^k}{n^{k-1}} $$

hast du schon eine Idee ?

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lim_n→∞ (n+1)^k/n^{k-1} - lim_n→∞ n^k/(1/n)*n^k
= lim_n→∞ (n+1)^k/n^{k-1} - lim_n→∞ 1/(1/n)
=lim_n→∞ (n+1)^k/n^{k-1} - lim_n→∞ n

Beim ersten Term habe ich keine Idee, binomische Formel geht schlecht, da habe ich oben etwas ganz komisches gemacht :D

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Das rechts ist etwas komisch, aber nicht ganz falsch - ich hab das mal weitergeführt:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}} \quad k \in \mathbb{N}$$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^k}{n^{k-1}} - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^k}{n^{k-1}} $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} (n+1) \cdot \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k-1}} - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^k}{n^{k}} \cdot n$$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} (n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^{k-1} - \lim_{n \rightarrow \infty}\, n$$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} (n+1) \cdot \left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^{k-1} - \lim_{n \rightarrow \infty}\, n$$

wie könnt es weitergehen ?

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Ich habe zwar, die Schritte verstanden die du gemacht hast, aber danach bin ich mir ziemlich unsicher.

lim_n→∞ (n+1)*(1+1/n)^{k-1} - lim_n→∞ n=

lim_n→∞ (n+1)*(1+1/n)^{-1}*(1+1/n)^k - lim_n→∞ n  okay, dass würde mich nicht wirklich weiterbringen oder? Ich sehe vermutlich den Wald vor lauter Bäumen nicht...

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$$ \lim_{n \rightarrow \infty} (n+1) \cdot \left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^{k-1} - \lim_{n \rightarrow \infty}\, n$$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} (n+1) \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{k-1} - \lim_{n \rightarrow \infty}\, n$$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{k-1}+\lim_{n \rightarrow \infty} 1 \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{k-1} - \lim_{n \rightarrow \infty}\, n$$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{k-1}+ 1 \cdot \left(1+0\right)^{k-1} - \lim_{n \rightarrow \infty}\, n$$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{k-1}+ \left(1\right)^{k-1} - \lim_{n \rightarrow \infty}\, n$$
$$ 1+\lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^{k-1} - \lim_{n \rightarrow \infty}\, n$$

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also die 1 kannst du herausziehen, weil 1 hoch irgendetwas immer 1 ist und die anderen Rechenschritte verstehe ich auch, aber ich komme am Ende einfach nicht auf den Grenzwert :(

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$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}} \quad k \in \mathbb{N} $$
Neue Idee: Pascalsches Dreieck für die Potenz im Zähler verwenden:
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^k +k \cdot n^{k-1} + \quad \cdots \quad +1-n^k}{n^{k-1}} \quad k \in \mathbb{N} $$
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{k \cdot n^{k-1} + \quad \cdots \quad +1}{n^{k-1}} \quad k \in \mathbb{N} $$
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{k \cdot n^{k-1} }{n^{k-1}} \quad  +\frac{\begin{pmatrix} k\\2 \end{pmatrix} \cdot n^{k-2}}{n^{k-1}}+\frac{ \begin{pmatrix} k\\3 \end{pmatrix} \cdot n^{k-3} }{n^{k-1}} + \cdots \quad k \in \mathbb{N}$$
$$\lim_{n \rightarrow \infty}k \cdot  \frac{ n^{k-1} }{n^{k-1}} \quad  +\begin{pmatrix} k\\2 \end{pmatrix} \cdot  \frac{n^{k-2}}{n^{k-1}}+\begin{pmatrix}k \\3 \end{pmatrix} \cdot \frac{ n^{k-3} }{n^{k-1}} + \cdots \quad k \in \mathbb{N} $$
$$\lim_{n \rightarrow \infty}k \cdot 1 \quad  +\begin{pmatrix} k\\2 \end{pmatrix} \cdot  \frac{1}{n^{1}}+\begin{pmatrix}k \\3 \end{pmatrix} \cdot \frac{ n^{1} }{n^2} + \cdots \quad k \in \mathbb{N} $$
$$k  \quad  +\begin{pmatrix} k\\2 \end{pmatrix} \cdot  0+\begin{pmatrix}k \\3 \end{pmatrix} \cdot 0 + \cdots \quad  +\begin{pmatrix}k \\k \end{pmatrix} \cdot 0 $$

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Klasse Idee!!! hätte ich eigentlich drauf kommen müssen. Danke dir.

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Die andere Aufgabe ist ähnlich zu bearbeiten:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac1{n^2}\right)^n $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n^2}{n^2}-\frac1{n^2}\right)^n $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n $$
Substitution zur Übersicht der nun folgenden Rattenschwänze:
$$q=n^2$$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{q-1}{q}\right)^n $$
Pascalsches Dreieck:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{\begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}q^n \cdot (-1)^0+\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}q^{n-1}(-1)^1+\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}q^{n-2}(-1)^{-2}+ \cdot \quad \cdots +\begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix}q^0(-1)^n }{q^n}\right) $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{\begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix}q^n \cdot (-1)^0 }{q^n}\right) + \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}q^{n-1}(-1)^1+\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}q^{n-2}(-1)^{-2}+ \cdot \quad \cdots +\begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix}q^0(-1)^n }{q^n}\right) $$
$$ 1+0$$

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Drei Fragen dazu, wieso darfst du substituieren und wieso ist im letzten Schritt der Limes vom ersten Summanden 1 und vom zweiten Summanden 0 ? Müsstest du nicht auch rücksubstituieren?

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n über 1 ist 1

minus 1 hoch null ist eins

einMal irgendwas ist irgendwas - also kann man Faktoren, die den Wert 1 besitzen weglassen.

bleibt Kuhhochenn durch Kuhhochenn

irgendwas durch irgendwas ist auch eins

Die Rücksubstitution benötigt einen Großrechner, der nur Weltmachtarmeen zur Verfügung steht und ist daher nicht weiter ausgeführt.

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beim zweiten Teil ist jeder Summand in der Potenz kleiner als der Nenner - das wird gegen unendlich immer Null

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ich glaube, dass ich noch nie soviele neue Tricks bei 2 Aufgaben gelernt habe, dafür danke ich dir :)

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Freut mich sehr!

alles geklärt nun ?

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Ja, habe es definitiv verstanden :)