Extremwertaufgabe Volumen eines Zylinders+Halbkugel soll Maximal werden

Question

Folgende Aufgabe:Eine Dose habe die Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit die Dose bei einer Oberfläche von 500 cm^{2} ein möglichst großes Volumen hat? 
Meine Lösung(Ich hoffe man kann es lesen):
Ich habe ein bisschen rumgerechnet und umgeformt, am Ende bekomme ich aber nur Müll raus, ich hatte so eine Aufgabe vor kurzem mal, allerdings war die viel einfacher, es ging dort um einen Fußballplatz mit jeweils zwei Halbkreisen, es handelte sich also um ein Rechteck mit einem Kreis, hier geht es um einen Zylinder mit einer Halbugel, bei der anderen Aufgabe kam ich am Ende auf 400m länge(die in der Aufgabenstellung schon gegeben waren), ich konnte also dort die richtigen variablen bestimmen, hier allerdings lag ich falsch, weswegen ich zum schluss was falsches erhalten habe,

Answer 1

Du hast bei der Oberfläche den Zylinderboden nicht berücksichtigt oder?

o = 1/2·4·pi·r^2 + 2·pi·r·h + pi·r^2 = 2·pi·h·r + 3·pi·r^2 --> h = (o - 3·pi·r^2)/(2·pi·r)

v = 1/2·4/3·pi·r^3 + pi·r^2·h = pi·h·r^2 + 2·pi·r^3/3

v = pi·((o - 3·pi·r^2)/(2·pi·r))·r^2 + 2·pi·r^3/3

v = o·r/2 - 5·pi·r^3/6

v' = o/2 - 5·pi·r^2/2 = 0 --> r = √(o/(5·pi))

h = (o - 3·pi·(√(o/(5·pi)))^2)/(2·pi·(√(o/(5·pi)))) = √(o/(5·pi))

Der Radius sollte also gleich der Höhe des Zylinders gewählt werden.

Comments

Könnte sein, ich bin mir aber nicht sicher ob ich das so machen muss, am besten beschaffe ich mir mal die Lösungen von meinem Prof. Normalerweise wird alles was gebraucht wird erwähnt, obwohl dein Zusatz eigentlich ganz logisch aussieht.

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Meine Lösung müsste eigentlich so richtig sein. Ist natürlich etwas einfacher wenn man es gleich mit werten macht, die man verrechnen kann als so ganz allgemein. Aber die Lösung verleitet zu der Annahme das die Rechnung soweit richtig ist.

Auf die Hinreichende Bedingung habe ich verzichtet. Es dürfte klar sein was passiert wenn r = 0 ist und das ich so eigentlich dann ein maximum haben muss.