Berechnen der Fläche eines Dreiecks mit a=6cm, b=5cm, c=10cm

Question

Ich sollte mit den Angaben a=6cm, b=5cm,c=10cm die Fläche eines Dreiecks berechnen.


Ich habe die Rechnung bereits probiert.

Zuerst habe ich mal den Cosinussatz auf α umgeformt und damit α ausgerechnet.

Dann habe ich mit dem Sinussatz β ausgerechnet und anschließend mit 180-α-β, Gamma ausgerechnet.


Aber wie komme ich nun auf die für die Flächenformel benötigte Höhe?

Answer 1

a = 6 cm, b = 5 cm, c = 10 cm

Zunächst Gamma mit dem Kosinussatz bestimmen ist schon richtig.

γ = ARCCOS((a^2 + b^2 - c^2)/(2·a·b))
γ = ARCCOS((6^2 + 5^2 - 10^2)/(2·6·5)) = 130.5416018°

Nun kann man direkt die Fläche mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel bestimmen. Dazu bräuchte man nur wissen das Sinus mal Seitenlänge gleichzeitig die Höhe ist. Am besten machst du dir mal eine Skizze damit du das verstehst.

A = 1/2 * a * b * sin(γ)
A = 1/2 * 6 * 5 * sin(130.5416018°) = 11.39901312 cm^2

Answer 2

Die am häufigsten verwendete Flächenformel für Dreiecke ist:

A = (Grundseite * Höhe / 2)
Du kannst somit  in deinem Dreieck irgendeine Höhe einzeichnen und dann eines der entstehenden rechtwinkligen Teildreiecke benutzen, um eine Höhe zu berechnen.

Comments

Es gibt übrigens auch eine Formel, mit der man direkt aus a,b und c die Fläche berechnen kann.

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksfläche

Damit übst du aber keine Trigonometrie. Deshalb zur Übung nur als Kontrolle benutzen.

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Achso, also sind die Teildreiecke immer rechtwinklig?  Wie geht man dann vor ? Dann könnte ich jaz.B. tanβ=a/h auf h umformen und so die Höhe ausrechnen oder?

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Sinus ist hier einfacher. Schau mal im angegebenen Link: 2 Seiten und eingeschlossener Winkel gegeben.

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ich wollte h mit dem Satz des Pythagoras berechnen, habe aber ein unplausibles Zwischenergebnis - ich finde den Denkfehler einfach nicht :-( 

h² = c² - x² = 100 - x²

h² = b² - (a-x)² = b² - (a² - 2ax + x²) = 25 - (36 - 12x + x²) 

2 Gleichungen, 2 Unbekannte

100 - x² = 25 - 36 + 12x - x²

111 = 12x

x = 111/12 = 9,25

Das ist offensichtlich unsinnig. Sieht jemand meinen Fehler?

Besten Dank im voraus!

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@ Brucybabe: Gamma dürfte hier grösser als 90° sein. Arbeite deshalb mit einer etwas genaueren Skizze.

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@Lu:

Das macht Sinn: Wenn ich einen stumpfen Winkel im Dreieck habe, verändert das die Form natürlich ganz entscheidend.
Herzlichen Dank !!!

Answer 3

Neben den Methoden der Trigonometrie gibt es noch die Heronsche Flächenformel (https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula -> Englisch ist ausfühlircher).

Damit kann man berechnen:

s=(a+b+c)/2=(6+5+10)/2=10.5

Dies in die Formel einsetzten:

A=√( s(s-a)(s-b)(s-c) ) = √( 10.5(10.5-5)(10.5-6)(10.5-10) ) = √(129.9375) ≈ 11.39901cm²

 

Dies ist auch schon die Lösung. Hier hat man einfach weniger Schritte als bei den andern Methoden gemacht, das Ergebnis ist dasselbe.

Ich hoffe, du verstehst es jetzt und ich konnte dir helfen!

Simon