Ist es möglich, dass ein homogenes LGS genau zwei Lösungen hat?

Question

Ich frage mich, ob ein homogenes LGS genau 2 Lösungen haben kann. Ich weiß, dass ein homogenes LGS immer die Triviallösung hat, aber kann es auch genau 2 haben? Und wenn ja, wie kann man das am besten begründen?

 

Answer 1

das ist nicht möglich, wenn die vorgegebene Grundmenge = ℝ ist.  

Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat dann nur die triviale Lösung  oder unendlich viele Lösungen.

Wenn die vorgegebene Grundmenge aber z.B. endlich viele Elemente hat, sind genau 2 Lösungen natürlich möglich:

Man nehme z.B. ein LGS mit unendlich vielen Lösungen in ℝ  und gebe in der Grundmenge genau 2 dieser Lösungen ( + eventuell beliebig viele "Nichtlösungen" )  aus ℝ vor.

Gruß Wolfgang 

Answer 2

Es geht ja wohl um die Grundmenge IR bzw. IRⁿ .

Wenn ein  hom. Gl.system die Lösung

(x1,x2,x3,...,xn) hat, dann ist z.B.

2*(x1,x2,x3,...,xn)  auch eine Lösung.

Wenn also (x1,x2,x3,...,xn)  nicht die triviale

Lösung ist, dann sind ja (x1,x2,x3,...,xn)  und

2*(x1,x2,x3,...,xn)  verschieden. Es gibt dann also

diese 2 und noch die triviale Lösung, also mind. 3.

Statt des Faktors 2 kann man auch jede andere

von 0 verschiedene Zahl nehmen und erhält so

noch viel mehr Lösungen.