nullstellen polynom 3.grades, erhalte quadratische gleichung zur lösung durch koeffizientenvergleich

Question

Hatte diese Aufgabe heute schon einmal eingestellt, mit 2 Fehlern, die berichtigt wurden. Erhalte quadratische Gleichung zur Lösung, siehe

"A", müßte doch lösbar sein! Bitte das Editoring zu entschuldigen, denn a2=a^2, a3=a^3!!!!! Danke für die Antworten, Bert!!!!

Nullstellen Polynom 3. Grades

(x-2)*(x+2)*(x+3)=0=(x-a)*(x-b)*(x-c)=x3+3x2-4x-12    für x=a, b, c

Koeffizientenvergleich, es wird eine Nullstelle gesucht, x=a

-ax2-bx2-cx2+abx+bcx+acx-abc+x3=0

x3=1xxx, -bx2-cx2-ax2=3xx, abx+bcx+acx=-4x, -abc=-12,

 (x2-xb-xc+cb)(x-a)=0, x2-xc-xb+cb=0 bei a=x

-b-c-a=3, x2-xb-xc+cb=y, ab+bc+ac=-4 daraus folgt für x=a a2-ab-ac+cb=y

die beiden letzten Gleichungen addieren

a2+2bc=y-4

a3+2abc=ay-4a

Koeffizientenvergleich Ergebnisse einsetzen für x=a

a3+24=a*(a2-ab-ac+cb)-4a

24=-a2*b-a2*c+abc-4a

-12=a2*b+a2*c+4a   "A"

-12=a(ab+ac+4)       "A"

ab+bc+ac=-4 ab+ac=-4-bc

12=abc

a(b+c)=-4-bc
-4=-4
a(-a-3)=-4-bc
a3+3a2-4a-12=0

Comments

Ist dieses Gleichungssystem mit normalen Mitteln lösbar und wenn, dann bitte wie?

a*b*c=12

a+b+c=3

-ab-bc-ac=4

Ausgangsgleichung war:

x^3+3x^2-4x-12=0

(x-2)*(x+2)*(x+3)=0

Nullstellen Polynom 3. Grades nach Koeffizientenvergleich, Gleichungen, siehe ganz oben, stimmt!!!!!

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a + b + c = 3 --> c = 3 - a - b

In die anderen Gleichungen einsetzen

a·b·(3 - a - b) = 12
a^2·b + a·b^2 - 3·a·b = -12

- a·b - b·(3 - a - b) - a·(3 - a - b) = 4
a^2 + a·b - 3·a + b^2 - 3·b = 4

Die erste vielleicht nach a auflösen als quadratische Gleichung.

a = (√(b^3 - 6·b^2 + 9·b - 48) - √b·(b - 3))/(2·√b) 
a = - (√(b^3 - 6·b^2 + 9·b - 48) + √b·(b - 3))/(2·√b)

Und das dann in die 3. Gleichung einsetzen.

Das sieht dann aber sehr, sehr ungemütlich aus.

((√(b^3 - 6·b^2 + 9·b - 48) - √b·(b - 3))/(2·√b) )^2 + ((√(b^3 - 6·b^2 + 9·b - 48) - √b·(b - 3))/(2·√b) )·b - 3·((√(b^3 - 6·b^2 + 9·b - 48) - √b·(b - 3))/(2·√b) ) + b^2 - 3·b = 4

b^2 - 3·b - 12/b = 4

Und das ist dann eine Gleichung 3. Grades, die wieder gelöst werden möchte. Hm. Also so einfach sieht das nicht aus. Aber wenn das so einfach wäre hätte man bestimmt nicht in der Uni die

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

angesprochen. Ich wusste doch das die für irgendwas gut waren.

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Nullstellen Polynom 3. Grades

(x-2)+(x+2)*(x+3)=0=(x-a)*(x-b)*(x-c)=x^3+3x^2-4x-12    für x=a, b, c

Koeffizientenvergleich, es wird eine Nullstelle gesucht, x=a

-ax^2-bx^2-cx^2+abx+bcx+acx-abc+x^3=0

x^3=1xxx, -bx^2-cx^2-ax^2=-3xx, abx+bcx+acx=-4x, -abc=12,

 (x^2-xb-xc+cb)(x-a)=0, x^2-xc-xb+cb=0 bei a=x

-b-c-a=-3, x^2-xb-xc+cb=y, ab+bc+ac=-4 daraus folgt für x=a â^2-ab-ac+cb=y

die beiden letzten Gleichungen addieren

a^2+2bc=y-4

a^3+2abc=ay-4a

Koeffizientenvergleich Ergebnisse einsetzen für x=a

a^3-24=a*(a^2-ab-ac+cb)-4a

-24=-a^2b-a^2*c+abc-4a

12=a^2*b+a^2*c+4a

12=a(ab+ac+4)

ab+bc+ac=-4 ab+ac=-4-bc

12=a(-bc)

gibt es wirklich keine Möglichkeit die NS zu ermitteln auf diesem Wege, habe gestern schon danach gefragt

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Habt ihr das in der Schule bzw. Uni auf? Der reguläre Weg wäre ja eine Nullstelle raten und dann Polynomdivision machen. Das dürfte auf jeden Fall schneller gehen. Ich hatte mich ja gestern schon kurz mit deiner Aufgabe beschäftigt. Vielleicht bin ich ungeschickt vorgegangen. Daher die Frage wofür das jetzt ist.

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Vielleicht ist es ja doch möglich mit dieser Methode, die NS zu ermitteln! Kann ja sein, dass ich etwas übersehen habe. Raten geht natürlich immer......! Habe mich gestern damit noch einmal beschäftigt. Danke für Eure Antworten, Bert!!!!!!

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Wenn diese Möglichkeit wirklich einfacher wäre als die Cardanischen Formeln, dann ist ja die Frage warum das nicht so gemacht wird. Oder meinst du du bist der erste der es über Koeffizientenvergleich probiert hat?

Also wie ich das richtig sehe ist das nicht etwas was ihr von der Schule oder Uni aufbekommen habt sondern was du selber mal probieren wolltest.

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Ja, genau so ist es! Ich wusste, dass man die erste NS sonst erraten muß und dann eine Division durchführen muß, um ein quadratisches Gleichungssystem zu erhalten. Es ist für mich nicht vorstellbar, dass solch eine einfache Aufgabe keine Lösung haben soll. Habe übrigens zwei Fehler in dem Script, was ich zu entschuldigen bitte. Es ist natürlich ein Polynom 3. und nicht 2. Grades, das + Zeichen und weiter unten habe ich die Potenz von a einmal nicht richtig angegeben. Bert!!!

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Doch. Deine Aufgabe hat ja eine ganz einfache Lösung. Eine Nullstelle raten und über Polynomdivision eine quadratische Gleichung bekommen. Oder halt ganz einfach 3 Nullstellen raten.

Hat man eine Gleichung

x^3 + 3·x^2 - 4·x - 12 = 0

Dann muss wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt diese ein Teiler der 12 sein. Also

x = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

D.h. man hat hier 12 mögliche Nullstellen zu testen.

Das Problem ist nur wenn die Gleichung nicht mehr so einfach ist

x^3 + 3·x^2 - 4·x - 13 = 0

Dann hilft das raten einer Nullstelle nicht dann braucht man ein Näherungsverfahren oder die Lösungsformeln für kubische Gleichungen.

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Und wo ist jetzt die Frage?

Bitte wenn du Fragen zu dem Bisher gesagten hast dann poste das dort und nicht als neue Frage. Ich habe jetzt die anderen Fragen geschlossen. Sie werden dann später mit dieser zusammengeführt.

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EDIT: Irgendwie ging jetzt die Verlinkung in eine ungewohnte Richtung.

Achtung: Die ursprüngliche Fragestellung ist wohl im 1. Kommentar zu sehen.

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Ich möchte bitte die quadratische Gleichung unter "A" gelöst haben!!!!

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Meinst Du

-12=a(ab+ac+4) 
(b + c)·a^2 + 4·a + 12 = 0

Wenn man das löst erhält man

a = -2·(1 + √(- 3·b - 3·c + 1))/(b + c)
a = -2·(1 - √(- 3·b - 3·c + 1))/(b + c)

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Das man dafür die Mitternachtsformel anwendet weiß ich.  Weiter lösen nach a geht wohl nur schwerlich, oder??? Dankeschön für die Mühe!!! Bert!!!!

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Wir haben dir ja bereits gesagt, dass die Cardanischen Formeln nicht umsonst entwickelt worden sind, wenn man das über Koeffizientenvergleich so einfach lösen könnte.

Was passiert, wenn ein Schüler besser sein will als alle Mathematiker die sich bisher an das Problem der Lösung von kubischen Gleichungen herangewagt haben?

Du kannst davon Ausgehen, dass die Dinge in Schule und Studium die als Grundlagen gelehrt werden schon so seinen Sinn haben.

Answer 1

Wenn man Polynomgleichungen mit Deinem Ansatz loesen koennte, dann haette das schon lange vor Dir jemand gemerkt. Tatsaechlich ist das nichtlineare Gleichungssystem, das man erhaelt, um nichts einfacher als die Ausgangsgleichung.

Besonders schoen sieht man das schon bei quadratischen Gleichungen. $$x^2+\alpha x+\beta=(x-a)(x-b).$$ Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich gibt

\((1)\qquad ab=\beta,\)

\((2)\qquad a+b=-\alpha.\)

Wenn man (2) nach \(b\) aufloest und in (1) einsetzt, erhaelt man

\(a^2+\alpha a+\beta=0.\)

Wenn man (2) nach \(a\) aufloest und in (1) einsetzt, erhaelt man

\(b^2+\alpha b+\beta=0.\)

Nichts erreicht, was man nicht schon vorher wusste. Und eine quadratische Gleichung muss man doch loesen.

Answer 2

dein Ansatz eignet sich nicht zur Lösung der Gleichung. Das enstehende nichtlineare Gleichunggsystem ist keineswegs einfacher zu lösen als die Ursprungsgleichung. Das war aber auch schon den Antworten von gestern zu entnehmen.

Wenn du die Gleichung ohne Näherungsverfahren, Raten von Nullstellen oder Faktorisierungen, lösen möchtest, bleiben nur die cardanischen Formeln. Die wurden ja nicht umsonst hergeleitet ;)

Answer 3

Als nichtlineares Gleichungssystem kann man es auch numerisch mit dem Newton Verfahren im mehrdimensionalen lösen.

Answer 4

(1) abc=12 wird zu (1a) c=12/ab

(2) a+b+c=3 wird zu (2a) a²+ab+ac=3a

           Dazu addiert man (3) -ab-ac-bc=4

und erhält a²-bc=3a+4 und setzt (1a) hier ein

a²-12/a=3a+4 und nach Multiplikation mit a und neu ordnen:

a³-3a²-4a-12=0

Kubische Gleichungen, deren Lösung man nicht errät, löst man entweder mit einem Näherungsverfahren oder mit Cardanischen Formeln.

Answer 5

Wenn die Gleichung wirklich (x-2)+(x+2)*(x+3)=0 hieße, wäre das eine quadratische Gleichung und nicht sehr schwer lösbar. Aber vemutlich ist das +-Zeichen ein Malpunkt und es heißt 0=x³+3x²-4x-12. Dann sind die Nullstellen noch einfacher zu finden, nachdem die Faktorenzerlegung schon gegeben ist: (x-2)·(x+2)·(x+3)=0. Jeder der Faktoren kann gleich Null sein und ergibt eine Nullstelle x₁=2, x₂= - 2, x₃= - 3.

Answer 6

Nullstellen Polynom 3. Grades

(x-2)+(x+2)*(x+3)=0

Dies ist aber kein Polynom 3.Grades sondern nur 2.Grades.

Soll es nicht

(x-2) * (x+2)*(x+3)=0

heißen ?

mfg Georg

Comments

Ja, so soll es sein, habe zwei Fehler in dem Script, die ich in dessen Verlauf jedoch wieder berichtigt habe, Editorprobleme. Siehe Kommentare weiter oben! Bert!!!!!