Wie leite ich die Funktion noch einmal ab? f(x)= Sin (π x^2)

Question

Funktion f(x)= Sin (π x²)

Die erste Ableitung habe ich : f '(x)= cos(πx^2)*2πx

Aber wie mache ich die zweite?

Danke.

Answer 1

f(x) = SIN(pi·x^2)

Kettenregel

f(x) = 2·pi·x·COS(pi·x^2)

Jetzt Produkt und Kettenregel

f(x) = (2·pi·x)·COS(pi·x^2)

f(x) = (2·pi·1)·COS(pi·x^2) + (2·pi·x)·2·pi·x·(-SIN(pi·x^2))

f(x) = 2·pi·COS(pi·x^2) - 4·pi^2·x^2·SIN(pi·x^2)

Answer 2

Um die zweite Ableitung zu berechnen müssen wir die Faktor-, Produkt- und Verkettungsregel benutzen.

$$f''(x)= \left(2\pi\cos (\pi x^2)\cdot x\right)' \\ =2\pi \left(\cos (\pi x^2)\cdot x\right)' \\ =2\pi \left [(\cos (\pi x^2)'\cdot x+\cos (\pi x^2)\cdot (x)'\right ] \\ =2\pi \left [-\sin  (\pi x^2)\cdot (\pi x^2)'\cdot x+\cos (\pi x^2)\right ] \\ =2\pi \left [-\sin  (\pi x^2)\cdot (2\pi x)\cdot x+\cos (\pi x^2)\right ] \\ =2\pi \left [-2\pi \sin  (\pi x^2)\cdot x^2+\cos (\pi x^2)\right ]$$