Richtungsvektoren bestimmen. E: x1 - x2 + x4 = 0

Question

Meine Ebene lautet

E= { x E R^4 | x1-x2+x4= 0 }

also E = x1 - x2 + x4 = 0

Wie bestimme ich die Richtungsvektoren von E?

Und wie bestimme ich eine Gerade G, die keinen Schnittpunkt zu E hat und durch                               ( 1/ 0 /0/ 0) geht?

Comments

EDIT: Bei einer Gleichung für die Ebene E ist es üblich einen Doppelpunkt zu verwenden. Habe das in der Überschrift so gemacht.

E:  x1 - x2 + x4 = 0

(Wenn du = verwendest, heisst das letztlich E = 0, was nicht wirklich sinnvoll ist)

---

Es sei E ={  x (schlange) ∈ ℝ⁴ Ιx₁ - x₂ + x₄ = 0 }

Bestimmen Sie die Richtungsvektoren von E.

Answer 1

> Wie bestimme ich die Richtungsvektoren von E?

Wähle a₁, a₂, a₃ beliebig. Berechne a₄ als Lösung der Gleichung a₁ - a₂ + a₄ = 0. Der Punkt A(a₁|a₂|a₃|a₄) liegt dann in der Ebene E.

Bestimme auf gleiche Art drei weitere Punkte B, C, D in der Ebene E.

Die Vektoren AB, AC, AD eignen sich dann als Richtungsvektoren, wenn sie linear unabhängig sind.

> Und wie bestimme ich eine Gerade G, die keinen Schnittpunkt zu E hat und durch ( 1/ 0 /0/ 0) geht?

Stelle die Parameterdarstellung von G auf indem du (1 0 0 0)^T als Stützvektor und (r₁ r₂ r₃ r₄)^T als Richtungsvektor verwendest. Setze mit der Parameterdarstellung der Ebene gleich. Bestimme r₁, r₂, r₃ und r₄ so dass das entstande Gleichungssystem keine Lösung hat.

Answer 2

E= { x E R⁴ | x1-x2+x4= 0 }

also E: x1 - x2 + x4 = 0

Wie bestimme ich die Richtungsvektoren von E?

Ihr Skalarprodukt mit dem Normalenvektor n= (1|-1|0|1) muss 0 sein.

Punkte in E: A(0|0|3|0), B(0|0|0|0) C(1|1|0|0) D(0|1|0|1)

Richtungsvektoren BA = (0|0|3|0), BC= (1|1|0|0), BD = (0|1|0|1) 

Und wie bestimme ich eine Gerade G, die keinen Schnittpunkt zu E hat und durch                               ( 1/ 0 /0/ 0) geht?

Wie habt ihr "Geraden" in R^4 definiert? Angenommen, die sind eindimensional, dann braucht man einen Stützpunkt, der nicht auf E liegt und einen Richtungsvektor, der parallel zu E verläuft. Also wieder irgendeinen Richtungsvektor der Ebene E.

P(1|0|0|0) liegt nicht auf E. g: r = (1|0|0|0) + t *(1|1|0|0)   | Vektorschreibweise verwenden. 

(ohne Gewähr)

Answer 3

$$ { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 4 }=0\\\Rightarrow{ x }_{ 1 }={ x }_{ 2 }-{ x }_{ 4 }\\{ x }_{ 2 }={ x }_{ 2 }\\{ x }_{ 3 }={ x }_{ 3 }\\{ x }_{ 4 }={ x }_{ 4 }\\\vec{ x }=\begin{pmatrix} { x }_{ 2 }-{ x }_{ 4 }\\{ x }_{ 2 }\\{ x }_{ 3 }\\{ x }_{ 4 } \end{pmatrix}\\={ x }_{ 2 }\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}+{ x }_{ 3 }\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}+{ x }_{ 4 }\begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{pmatrix}$$