Welche der Teilmengen sind Untervektorräume? b) U={(x1,x2,x3,x4,x5)| x1-x4=1 und x2+2x5=1}

Question

habe folgende Aufgabe vorliegen:

Untersuche, welche der folgenden Teilmengen von ℚ⁵ ein Untervektorraum ist.

a) U= {(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅)| x₁+x₂+x₃+x₄=0 }

b) U={(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅)| x₁-x₄=1 und x₂+2x₅=1}

c) U={(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅)| x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=1}

d) U={(...s.o....| x₁²=2x₂²=3x₃²=4x₄²=5x₅²}

Wie löst man solche Aufgaben??? Habe gar keine idee

Comments

Du musst da schauen, ob du Elemente von U addieren kannst und das Resultat immer noch in U liegt, ob  der Nullvektor drinn ist... Wenn du zeigen kannst, dass U ein Vektorraum ist und in V liegt, ist U ein UVR.

Kurz: Alle zwingenden Eigenschaften von UVR testen.

a) ist ein UVR, die andern eher nicht.

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ich sitze gerade an der Aufgabe d bei der Addition. Man addiert doch u=(x1, x2, x3, x4, x5) und v = (y1,y2,y3,y4,y5) und will zeigen, dass die Summe  in U liegt. Also u + v = (x1 +y1, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5)

Aber wie mache ich jetzt weiter?

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Habe gerade d) nochmals gelesen. Diese Teilmenge von Q^5 enthält doch nur das Element (0,0,0,0,0).

Schon x1^2 = 2x2^2 ist nicht möglich mit rationalen Zahlen ≠ (0,0), da sonst √2 = |x1|/|x2| rational wäre.

==> Im Gegensatz zu meiner Vermutung oben, ist d) vermutlich doch ein UVR. Allerdings einer, das nur das Element (0,0,0,0,0) enthält. (Spricht man da überhaupt noch von einem Vektorraum? Wenn ja, ist d) ein UVR.

Also u + v = (x1 +y1, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5)

Kontrolliere jetzt, ob (x1+y1)^2 = 2(x2+y2)^2 = 3(x3+y3)^2 ...

aus den vorgegebenen Gleichungen folgt.

Oder einfacher: Nimm 2 beliebige Elemente der Menge und schaue, ob das Ergebnis die verlangten Gleichungen erfüllt. Leider findet man aber nur (0,0,0,0,0) vgl. Anfang

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Ich weiß auch nicht, ob man dann von einem Vektorraum spricht aber danke für deine Antwort!!!