Ableitung sinus und cosinus.

Question

Bestimmen Sie die Ableitung von: f(x)= sin(x)*cos²(x)

Answer 1

f(x)= sin(x)*cos²(x)

Produktregel

u = sin ( x )
u ´ = cos ( x )

v = ( cos(x) ) ^2
v ´ = 2 * cos ( x ) * -sin(x)

( u * v ) ´=  u´ * v + u * v ´
= cos ( x )  * cos²(x) + sin ( x ) *  2 * cos ( x ) * -sin(x)

Answer 2

Um die Ableitung zu berechnen müssen wir die Produkt- und Verkettungsregel anwenden:

$$f'(x)=(\sin (x))'\cdot \cos^2(x)+\sin (x)\cdot (\cos^2(x))' \\ =\cos (x)\cdot \cos^2(x)+\sin (x)\cdot [2\cos(x)\cdot (\cos (x))'] \\ =\cos^3(x)+2\sin (x)\cdot \cos(x)\cdot (-\sin (x)) \\ =\cos^3(x)-2\sin^2 (x)\cdot \cos(x)$$

Answer 3

alternative: wandle vorher den Funktionsterm um, dann brauchst du nur Ketten- und Summandenregel:

$$ f(x)=sin(x)cos^2(x)=sin(x)(1-sin^2(x))=sin(x)-sin^3(x)\\f'(x)=cos(x)-3cos(x)sin^2(x) $$

Answer 4

Auch folgendes ist möglich cos²(x)=1-sin²(x).

f(x)=sin(x)*cos²(x)= sinx - sin³(x)

f '(x)=cos(x)-3sin²(x)cos(x).