Bestimmen Sie die Ableitung von: f(x)= sin(x)*cos2(x)
f(x)= sin(x)*cos2(x)
Produktregel
u = sin ( x )u ´ = cos ( x )
v = ( cos(x) ) ^2v ´ = 2 * cos ( x ) * -sin(x)
( u * v ) ´= u´ * v + u * v ´= cos ( x ) * cos2(x) + sin ( x ) * 2 * cos ( x ) * -sin(x)
Um die Ableitung zu berechnen müssen wir die Produkt- und Verkettungsregel anwenden:
$$f'(x)=(\sin (x))'\cdot \cos^2(x)+\sin (x)\cdot (\cos^2(x))' \\ =\cos (x)\cdot \cos^2(x)+\sin (x)\cdot [2\cos(x)\cdot (\cos (x))'] \\ =\cos^3(x)+2\sin (x)\cdot \cos(x)\cdot (-\sin (x)) \\ =\cos^3(x)-2\sin^2 (x)\cdot \cos(x)$$
alternative: wandle vorher den Funktionsterm um, dann brauchst du nur Ketten- und Summandenregel:
$$ f(x)=sin(x)cos^2(x)=sin(x)(1-sin^2(x))=sin(x)-sin^3(x)\\f'(x)=cos(x)-3cos(x)sin^2(x) $$
Auch folgendes ist möglich cos2(x)=1-sin2(x).
f(x)=sin(x)*cos2(x)= sinx - sin3(x)
f '(x)=cos(x)-3sin2(x)cos(x).
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