Ableitung von Funktionen, Sinus, Cosinus, Logarithmus, e

Question

Hi,

in Mathe müsste ich folgende drei Funktionen ableiten, da ich noch nie händisch abgeleitet habe bin ich hierbei relativ aufgeschmissen.

f(x) = \( e^{-x^{2}} \) cos(x)

g(x) = log \( \frac{sin(2x)}{e^{2x}} \)

h(x):= \( sin^{2} \)(x) + \( cos^{2} \)(x)

e ist in diesem Fall die eulersche Zahl.

Ich weiß, dass e^x abgeleitet e^x bleibt, die ^2 vom e muss man logischerweise ableiten, jedoch weiß ich nicht ob ich das nun an das x ranhängen muss oder direkt runter zum e. cos(x) abgeleitet ist -sin(x), was ich einfach hinten dranhängen würde.

Bei der 2 Ableitung bin ich leider komplett ratlos, hier hab ich keinerlei Ideen wie ich überhaupt anfangen soll.

Bei der 3. habe ich grundsätzlich "nur" das Problem, dass ich nicht weiß, was ich mit dem ^2 anfangen soll.
sin abgeleitet ist einfach cos und cos wie erwähnt -sin.

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Verwende: https://www.ableitungsrechner.net/

Wenn irgendwo Schwierigkeiten beim Verständnis auftauchen frag gerne nochmals nach.

Answer 2

g(x):

Es gilt:

log(a/b) = loga-logb

und:

log g(x) wird abgeleitet zu g '(x)/g(x)

h(x): sin^2(x)+ cos^2(x) = 1 -> h'(x) =0

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Hier brauchst du die Produkt- und die Kettenregel:$$f(x)=\underbrace{e^{-x^2}}_{=u}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{\overbrace{e^{-x^2}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-x^2)'}^{=\text{innere}}}_{=u'}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{=v}+\underbrace{e^{-x^2}}_{=u}\cdot\underbrace{(-\sin(x)}_{=v'})=e^{-x^2}\cdot(-2x)\cdot\cos(x)-e^{-x^2}\cdot\sin(x)$$$$\phantom{f'(x)}=-e^{-x^2}\left(2x\cos(x)+\sin(x)\right)$$

zu b) Hier würde ich die Funktion zunächst umformen:$$g(x)=\log\left(\frac{\sin(2x)}{e^{2x}}\right)=\log(\sin(2x))-\log(e^{2x})=\log(\sin(2x))-2x$$um sie dann mit der zweifachen Anwendung der Kettenregel abzuleiten:$$g'(x)=\underbrace{\frac{1}{\sin(2x)}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(\sin(2x)\right)'}_{=\text{innere}}-2=\frac{1}{\sin(2x)}\cdot\underbrace{\cos(2x)}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(2x)'}_{=\text{innere}}-2$$$$\phantom{g'(x)}=\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\cdot2-2=2\cot(2x)-2$$

zu c) Auch hier lohnt es sich, die Funktion zunächst umzuformen:$$h(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\quad\implies\quad h'(x)=0$$